第6章微分方程 | YHK's life

第1节定积分的概念与性质

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

一、基础题

1. 下列各题中所给的函数是否为所给微分方程的解？若是，请指出是通解还是特解.

(1) $2xy' = y, y = x^3$

解答：

求导得 $y' = 3x^2$。

代入微分方程左边：$2x \cdot (3x^2) = 6x^3$。

微分方程右边：$y = x^3$。

因为 $6x^3 \neq x^3$ （除了 $x=0$），所以该函数不是所给微分方程的解。

(2) $y'' + 4y' + 4y = 0, y = (1 + x)\text{e}^{-2x}$

解答：

求一阶导数：$y' = \text{e}^{-2x} + (1+x)(-2)\text{e}^{-2x} = (-1 - 2x)\text{e}^{-2x}$。

求二阶导数：$y'' = -2\text{e}^{-2x} + (-1 - 2x)(-2)\text{e}^{-2x} = (4x) \text{e}^{-2x}$。

代入微分方程左边：

$$4x\text{e}^{-2x} + 4(-1 - 2x)\text{e}^{-2x} + 4(1 + x)\text{e}^{-2x}$$$$= \text{e}^{-2x} (4x - 4 - 8x + 4 + 4x) = 0$$

左边等于右边，因此是微分方程的解。由于解中不包含任意常数，所以它是特解。

(3) $y'' + 4y = 0, y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$

解答：

求一阶导数：$y' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x$。

求二阶导数：$y'' = -4C_1 \cos 2x - 4C_2 \sin 2x = -4(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) = -4y$。

代入微分方程：$-4y + 4y = 0$ 成立。

因此是微分方程的解。由于该二阶微分方程的解中包含了两个独立的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$，所以它是通解。

2. 设曲线经过坐标原点，且在该曲线上任一点 $P(x,y)$ 处的法线斜率为 $-\frac{1}{3x^2}$，求该曲线的方程.

解答：

由题意知，法线斜率为 $-\frac{1}{3x^2}$，根据切线与法线垂直的性质，该点处切线的斜率（即导数 $y'$）为：

$$y' = -\frac{1}{-\frac{1}{3x^2}} = 3x^2$$

即微分方程为 $\text{d}y = 3x^2 \text{d}x$。

两边积分得：

$$y = \int 3x^2 \text{d}x = x^3 + C$$

因为曲线经过原点 $(0,0)$，代入上式得 $0 = 0^3 + C \Rightarrow C = 0$。

所以，该曲线的方程为：$y = x^3$。

二、提高题

3. 已知物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度之差成正比（比例系数 $k > 0$），且空气温度为 $20^\circ\text{C}$，如果物体在 20min 内由 $100^\circ\text{C}$ 降至 $60^\circ\text{C} $，请用微分方程表示该物理问题.

解答：

设物体的温度为 $T(t)$，时间为 $t$（单位：min）。

根据牛顿冷却定律，冷却速度 $\frac{\text{d}T}{\text{d}t}$ 与温差 $(T - 20)$ 成正比。因为是冷却过程，温度下降，速度为负，故有微分方程：

$$\frac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k(T - 20) \quad (k > 0)$$

结合初始条件和附加条件：

在 $t=0$ 时，温度为 $100^\circ\text{C}$，即 $T(0) = 100$。

在 $t=20$ 时，温度为 $60^\circ\text{C}$，即 $T(20) = 60$。

所以该物理问题的微分方程及条件表示为：

$\begin{cases} \frac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k(T - 20) \\ T(0) = 100 \\ T(20) = 60 \end{cases}$

4. 设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发，以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动。物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与物体 $A$ 同时出发，其速度大小为 $2v$，方向始终指向物体 $A$。试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方程，并给出初值条件.

解答：

设在时刻 $t$，物体 $A$ 的坐标为 $(0, 1 + vt)$，物体 $B$ 的坐标为 $(x, y)$。

因为 $B$ 的运动方向始终指向 $A$，所以轨迹曲线在 $(x,y)$ 处的切线必定经过点 $A(0, 1+vt)$。切线的斜率为 $y'$，因此有：

$$y' = \frac{y - (1 + vt)}{x - 0} \Rightarrow xy' = y - 1 - vt$$

整理得：

$$vt = y - xy' - 1$$

对两边关于 $x$ 求导：

$$v \frac{\text{d}t}{\text{d}x} = y' - (y' + xy'') = -xy''$$

又因为物体 $B$ 的速度为 $2v$，所以其弧长微元 $\text{d}s = 2v \text{d}t$。由于 $B$ 从 $x=-1$ 向右运动，$\text{d}x > 0$，因此：

$$\text{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \text{d}x \Rightarrow \frac{\text{d}t}{\text{d}x} = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2v}$$

将 $\frac{\text{d}t}{\text{d}x}$ 代入前面的求导等式中：

$$v \cdot \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2v} = -xy''$$

化简得到微分方程：

$$xy'' = -\frac{1}{2}\sqrt{1 + (y')^2}$$

求初值条件：

在 $t=0$ 时，物体 $B$ 在 $(-1, 0)$，所以 $y(-1) = 0$。

此时物体 $A$ 在 $(0, 1)$，向量 $\vec{BA} = (0 - (-1), 1 - 0) = (1, 1)$，该初始时刻的斜率即为初始速度方向的斜率：

$y'(-1) = \frac{1}{1} = 1$。

所以，所求的定解问题为：

$\begin{cases} xy'' = -\frac{1}{2}\sqrt{1 + (y')^2} \\ y|_{x=-1} = 0 \\ y'|_{x=-1} = 1 \end{cases}$

三、考研真题

5. (2003209) 已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y' = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right) = ( \quad )$

A. $-\frac{y^2}{x^2}$

B. $\frac{y^2}{x^2}$

C. $-\frac{x^2}{y^2}$

D. $\frac{x^2}{y^2}$

解答：

已知 $y = \frac{x}{\ln x}$，由此可得 $\ln x = \frac{x}{y}$。

对 $y = \frac{x}{\ln x}$ 求导：

$$y' = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{(\ln x)^2}$$

将 $\frac{1}{\ln x} = \frac{y}{x}$ 代入导数表达式：

$$y' = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}$$

将此结果与题干给出的微分方程 $y' = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 对比，可得：

$$\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2} = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$$

解得：

$$\varphi\left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{y^2}{x^2}$$

对比选项，正确答案为 A。

第2节一阶微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

7、8、待校验

一、基础题

1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：

(1) 原题：$xy' + y\ln y = 0$

求解过程：

将方程改写为：$x \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -y\ln y$

分离变量，得到：$\frac{\text{d}y}{y\ln y} = -\frac{\text{d}x}{x}$

两边同时积分：$\int \frac{1}{\ln y}\text{d}(\ln y) = -\int \frac{1}{x}\text{d}x$

得到：$\ln|\ln y| = -\ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln y = \frac{\pm \text{e}^{C_1}}{x}$

令 $C = \pm \text{e}^{C_1}$，则有 $\ln y = \frac{C}{x}$。

通解为：

$$y = \text{e}^{\frac{C}{x}}$$

（包含特解 $y=1$）。

(2) 原题：$\sqrt{1-x^2}\text{d}y = \sqrt{1-y^2}\text{d}x$

求解过程：

分离变量，得到：$\frac{\text{d}y}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

两边同时积分：$\int \frac{\text{d}y}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$

通解为：

$$\arcsin y = \arcsin x + C$$

（此外还有奇解 $y = \pm 1, x = \pm 1$）。

(3) 原题：$y' - xy' = 2(y^2 + y')$

求解过程：

提取 $y'$ 并移项整理：$y'(1 - x - 2) = 2y^2 \Rightarrow -(x+1)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2$

分离变量：$\frac{\text{d}y}{y^2} = -\frac{2}{x+1}\text{d}x$

两边积分得：$-\frac{1}{y} = -2\ln|x+1| - C$

通解为：

$$\frac{1}{y} = 2\ln|x+1| + C$$

（此外还有特解 $y=0$）。

(4) 原题：$\sec^2 x \tan y \text{d}x + \sec^2 y \tan x \text{d}y = 0$

求解过程：

两边同除以 $\tan x \tan y$ 进行分离变量：

$\frac{\sec^2 x}{\tan x}\text{d}x + \frac{\sec^2 y}{\tan y}\text{d}y = 0$

两边积分：$\int \frac{\text{d}(\tan x)}{\tan x} + \int \frac{\text{d}(\tan y)}{\tan y} = 0$

得到：$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = \ln|C|$

化简得 通解为：

$$\tan x \cdot \tan y = C$$

2. 求下列齐次方程的通解：

(1) 原题：$(2y^2 - xy)\text{d}x = (x^2 - xy + y^2)\text{d}y$

求解过程：

改写为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{2y^2 - xy}{x^2 - xy + y^2}$，上下同除以 $x^2$ 可知这是齐次方程。

令 $y=ux$，则 $y' = u + xu'$。代入并化简：

$u + xu' = \frac{2u^2 - u}{1 - u + u^2}$

$xu' = \frac{2u^2 - u}{1 - u + u^2} - u = \frac{2u^2 - u - u(1 - u + u^2)}{1 - u + u^2} = \frac{-u(u-1)(u-2)}{1 - u + u^2}$

分离变量：$\frac{1-u+u^2}{u(u-1)(u-2)}\text{d}u = -\frac{\text{d}x}{x}$

对左侧进行部分分式展开：$\left(\frac{1/2}{u} - \frac{1}{u-1} + \frac{3/2}{u-2}\right)\text{d}u = -\frac{\text{d}x}{x}$

积分得：$\frac{1}{2}\ln|u| - \ln|u-1| + \frac{3}{2}\ln|u-2| = -\ln|x| + C_1$

乘以 2 整理得：$\ln\left| \frac{u(u-2)^3}{(u-1)^2} \right| = \ln\left| \frac{C_2}{x^2} \right|$

回代 $u=\frac{y}{x}$，得 $\frac{\frac{y}{x}(\frac{y-2x}{x})^3}{(\frac{y-x}{x})^2} = \frac{C_2}{x^2}$。

化简后 通解为：

$$y(y-2x)^3 = C(y-x)^2$$

(2) 原题：$x(\text{d}y - \text{d}x) = y(\text{d}x + \text{d}y)$

求解过程：

展开整理得：$(x-y)\text{d}y = (x+y)\text{d}x \Rightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$

令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u'x + u = \frac{1+u}{1-u} \Rightarrow xu' = \frac{1+u}{1-u} - u = \frac{1+u^2}{1-u}$

分离变量：$\frac{1-u}{1+u^2}\text{d}u = \frac{\text{d}x}{x}$

积分：$\int \frac{1}{1+u^2}\text{d}u - \frac{1}{2}\int \frac{2u}{1+u^2}\text{d}u = \int \frac{\text{d}x}{x}$

$\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2) = \ln|x| + C$

回代 $u=\frac{y}{x}$ 并运用对数运算法则化简，通解为：

$$\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) = C$$

(3) 原题：$x\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y - \sqrt{x^2+y^2}$

求解过程：

假设 $x>0$，两边同除以 $x$ 变形为：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y}{x} - \sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}$

令 $y=ux$，则 $u + xu' = u - \sqrt{1+u^2} \Rightarrow xu' = -\sqrt{1+u^2}$

分离变量：$\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = -\frac{\text{d}x}{x}$

积分：$\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right) = -\ln x + \ln C \Rightarrow u+\sqrt{1+u^2} = \frac{C}{x}$

回代 $u=\frac{y}{x}$，通解为：

$$y + \sqrt{x^2+y^2} = C$$

(4) 原题：$y' = 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}$

求解过程：

令 $y=ux$，则 $u + xu' = 2\sqrt{u} + u \Rightarrow xu' = 2\sqrt{u}$

分离变量：$\frac{\text{d}u}{2\sqrt{u}} = \frac{\text{d}x}{x}$

积分：$\sqrt{u} = \ln|x| + C$

回代 $u=\frac{y}{x}$，通解为：

$$y = x(\ln|x| + C)^2$$

3. 求下列一阶线性微分方程的通解：

(1) 原题：$\text{d}y + (y - \text{e}^{-x})\text{d}x = 0$

求解过程：

化为标准形式：$y' + y = \text{e}^{-x}$

求积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int 1 \text{d}x} = \text{e}^x$。方程两边同乘 $\text{e}^x$ 化为 $(\text{e}^x y)' = 1$

积分得：$\text{e}^x y = x + C$

通解为：

$$y = (x+C)\text{e}^{-x}$$

(2) 原题：$y' + \frac{y}{x} = \sin x$

求解过程：

积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int (1/x)\text{d}x} = x$。方程两边同乘 $x$ 化为 $(xy)' = x\sin x$

对右侧进行分部积分：$xy = \int x\sin x \text{d}x = -x\cos x + \sin x + C$

通解为：

$$y = \frac{\sin x - x\cos x + C}{x}$$

(3) 原题：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y\cos x = \text{e}^{-\sin x}$

求解过程：

积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int \cos x \text{d}x} = \text{e}^{\sin x}$。方程化为 $(\text{e}^{\sin x} y)' = 1$

积分得：$\text{e}^{\sin x} y = x + C$

通解为：

$$y = (x+C)\text{e}^{-\sin x}$$

(4) 原题：$(x^2 - 1)\text{d}y + (2xy - \cos x)\text{d}x = 0$

求解过程：

化为标准形式：$y' + \frac{2x}{x^2-1}y = \frac{\cos x}{x^2-1}$

积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int \frac{2x}{x^2-1}\text{d}x} = \text{e}^{\ln|x^2-1|} = x^2-1$。方程化为 $((x^2-1)y)' = \cos x$

积分得：$(x^2-1)y = \sin x + C$

通解为：

$$y = \frac{\sin x + C}{x^2-1}$$

4. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解：

(1) 原题：$\sin x \cos y \text{d}x - \cos x \sin y \text{d}y = 0, y(0) = \frac{\pi}{4}$

求解过程：

分离变量：$\frac{\sin x}{\cos x}\text{d}x = \frac{\sin y}{\cos y}\text{d}y \Rightarrow \tan x \text{d}x = \tan y \text{d}y$

积分得：$-\ln|\cos x| = -\ln|\cos y| + \ln C_1 \Rightarrow \cos y = C\cos x$

代入初始条件 $x=0, y=\pi/4$ 得 $\cos(\frac{\pi}{4}) = C\cos(0) \Rightarrow C = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

特解为：

$$\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$$

(2) 原题：$(x^2 + 2xy - y^2)\text{d}x + (y^2 + 2xy - x^2)\text{d}y = 0, y(1) = 1$

求解过程：

此为齐次方程，令 $y=ux$，代入并展开提取公因式：

$x^2[(1+2u-u^2)\text{d}x + (u^2+2u-1)(u\text{d}x+x\text{d}u)] = 0$

化简得：$(u^3+u^2+u+1)\text{d}x + x(u^2+2u-1)\text{d}u = 0$

分离变量：$\frac{\text{d}x}{x} + \frac{u^2+2u-1}{(u^2+1)(u+1)}\text{d}u = 0$

运用部分分式展开：$\int \frac{\text{d}x}{x} + \int \left(\frac{2u}{u^2+1} - \frac{1}{u+1}\right)\text{d}u = 0$

积分得：$\ln|x| + \ln(u^2+1) - \ln|u+1| = \ln|C| \Rightarrow \frac{x(u^2+1)}{u+1} = C$

回代 $u=\frac{y}{x}$ 整理得：$\frac{x^2+y^2}{x+y} = C \Rightarrow x^2+y^2 = C(x+y)$

代入初始条件 $x=1, y=1$ 得 $2 = C(2) \Rightarrow C=1$。

特解为：

$$x^2 + y^2 = x + y$$

(3) 原题：$y' = y\tan x + \sec x, y(0) = 0$

求解过程：

化为一阶线性形式：$y' - y\tan x = \sec x$

积分因子：$\text{e}^{\int -\tan x \text{d}x} = \text{e}^{\ln|\cos x|} = \cos x$。方程化为 $(y\cos x)' = \sec x \cos x = 1$

积分：$y\cos x = x + C$。代入初始条件 $x=0, y=0$ 得 $0 = 0 + C \Rightarrow C=0$。

特解为：

$$y = x\sec x$$

(4) 原题：$y' + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}, y(\pi) = 1$

求解过程：

积分因子为 $x$。方程化为 $(xy)' = \sin x$

积分：$xy = -\cos x + C$。代入 $x=\pi, y=1$ 得 $\pi = -\cos\pi + C = 1 + C \Rightarrow C = \pi - 1$。

特解为：

$$y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}$$

二、提高题

5. 求下列伯努利方程的通解：

(1) 原题：$y' - \frac{4}{x}y = x\sqrt{y}$

求解过程：

方程两边同除以 $\sqrt{y}$：$y^{-1/2}y' - \frac{4}{x}y^{1/2} = x$。

令 $z = y^{1/2}$，则 $z' = \frac{1}{2}y^{-1/2}y'$。代入化简为线性方程：

$2z' - \frac{4}{x}z = x \Rightarrow z' - \frac{2}{x}z = \frac{x}{2}$

求此线性方程解，积分因子 $\text{e}^{\int -2/x \text{d}x} = x^{-2}$，得 $z = x^2\left(\frac{1}{2}\ln|x| + C\right)$。

回代 $z=y^{1/2}$，通解为：

$$y = x^4\left(\frac{1}{2}\ln|x| + C\right)^2$$

(2) 原题：$y' = xy + xy^2$

求解过程：

整理为 $y' - xy = xy^2$，同除以 $y^2$ 得 $y^{-2}y' - xy^{-1} = x$。

令 $z = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2}y'$。化简为线性方程：

$-z' - xz = x \Rightarrow z' + xz = -x$

解得 $z = C\text{e}^{-x^2/2} - 1$。

回代 $z=y^{-1}$，通解为：

$$y = \frac{1}{C\text{e}^{-x^2/2} - 1}$$

(3) 原题：$x\text{d}x = (x^2 + y^2)\text{d}y$

求解过程：

改写为以 $x$ 为未知函数的方程：$\frac{\text{d}x}{\text{d}y} = \frac{x^2+y^2}{x} \Rightarrow \frac{\text{d}x}{\text{d}y} - x = y^2 x^{-1}$ （伯努利方程）

令 $z = x^2$，则 $\frac{\text{d}z}{\text{d}y} = 2x\frac{\text{d}x}{\text{d}y}$。代入化简得：

$\frac{1}{2}z' - z = y^2 \Rightarrow z' - 2z = 2y^2$

利用公式或分部积分求得 $z = C\text{e}^{2y} - y^2 - y - \frac{1}{2}$。

回代 $z=x^2$，通解为：

$$x^2 = C\text{e}^{2y} - y^2 - y - \frac{1}{2}$$

(4) 原题：$x\text{d}y = [y + xy^3(1+\ln x)]\text{d}x$

求解过程：

整理为：$y' - \frac{1}{x}y = y^3(1+\ln x)$。

令 $z = y^{-2}$，则 $z' = -2y^{-3}y'$。化简为线性方程：

$z' + \frac{2}{x}z = -2(1+\ln x)$

解得 $z = \frac{C}{x^2} - \frac{2}{9}x(2 + 3\ln x)$。

通解为：

$$\frac{1}{y^2} = \frac{C}{x^2} - \frac{2}{9}x(2 + 3\ln x)$$

6. 用适当的变量代换求下列微分方程的通解：

(1) 原题：$(x+y)^2 y' = a^2$ （$a$ 为常数）

求解过程：

令 $u = x+y$，则 $u' = 1+y' \Rightarrow y' = u'-1$。

代入方程：$u^2(u'-1) = a^2 \Rightarrow u' = \frac{a^2+u^2}{u^2} = 1 + \frac{a^2}{u^2}$。

分离变量：$\left(1 - \frac{a^2}{a^2+u^2}\right)\text{d}u = \text{d}x$

积分得 $u - a\arctan\left(\frac{u}{a}\right) = x + C$。

回代 $u=x+y$，整理后 通解为：

$$y - a\arctan\left(\frac{x+y}{a}\right) = C$$

(2) 原题：$y' = \sin^2(x-y+1)$

求解过程：

令 $u = x-y+1$，则 $u' = 1-y' \Rightarrow y' = 1-u'$。

代入方程：$1-u' = \sin^2 u \Rightarrow u' = \cos^2 u$。

分离变量积分：$\int \frac{1}{\cos^2 u} \text{d}u = \int \text{d}x \Rightarrow \tan u = x + C$

回代后 通解为：

$$\tan(x-y+1) = x + C$$

三、应用题

7. 原题：有一圆锥形漏斗，其高为 $10\text{cm}$，顶角为 $60^\circ$，漏斗下面有面积为 $0.5\text{cm}^2$ 的小孔，当漏斗盛满水时，求其小孔漏水过程中漏斗内水面高度变化的规律和水流完所需的时间。

求解过程：（有误）

设时刻 $t$，水面高度为 $h$。顶角为 $60^\circ$ 意味着半顶角为 $30^\circ$。水面半径 $r = h\tan 30^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$。

水面面积 $A(h) = \pi r^2 = \frac{\pi}{3}h^2$。小孔面积 $a = 0.5$。

根据托里拆利定律（设流量系数为1，重力加速度为 $g$），体积变化率 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t} = A(h)\frac{\text{d}h}{\text{d}t} = -a\sqrt{2gh}$。

代入建立微分方程：$\frac{\pi}{3}h^2\frac{\text{d}h}{\text{d}t} = -0.5\sqrt{2g}\sqrt{h}$。

分离变量并积分：$\int \frac{\pi}{3} h^{3/2} \text{d}h = \int -0.5\sqrt{2g} \text{d}t \Rightarrow \frac{2\pi}{15}h^{5/2} = -0.5\sqrt{2g}t + C$

由于 $t=0$ 时盛满水即 $h=10$，代入得 $C = \frac{2\pi}{15}10^{5/2} = \frac{40\pi\sqrt{10}}{3}$。

化简得水面高度规律（取 $g=980\text{cm/s}^2$）：

$$h(t) = \left( 100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi}t \right)^{2/5}$$

当 $h=0$ 时，流完所需时间：$t = \frac{40\pi}{21} \approx 5.98 \text{ s}$。

8. 原题：镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量 $R$ 成正比。由相关资料得知，镭经过 1600 年后，只剩原始量 $R_0$ 的一半。求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系。

求解过程：

设现存量为 $R(t)$，衰变微分方程为 $\frac{\text{d}R}{\text{d}t} = -kR$ ($k>0$)。

解得 $R(t) = R_0 \text{e}^{-kt}$。

由半衰期条件 $R(1600) = \frac{1}{2}R_0 \Rightarrow \text{e}^{-1600k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{1600}$。

代入得函数关系：

$$R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}}$$

9. 原题：设有连接点 $O(0,0)$ 和 $B(1,1)$ 的一段向上凸的曲线弧 $\overparen{OB}$，对于 $\overparen{OB}$ 上任一点 $P(x,y)$，曲线弧 $\overparen{OP}$ 与直线段 $OP$ 所围图形的面积为 $2x^2$，求曲线弧 $\overparen{OB}$ 的方程。

求解过程：

设曲线方程为 $y=y(x)$。根据题意列出积分等式（曲线下面积减去三角形面积）：

$\int_0^x y(t)\text{d}t - \frac{1}{2}xy = 2x^2$

两边对 $x$ 求导：$y - \frac{1}{2}(y + xy') = 4x \Rightarrow y' - \frac{1}{x}y = -8$

解此一阶线性方程，得 $y = -8x\ln x + Cx$。

由于曲线过点 $B(1,1)$，代入得 $1 = -8(1)(0) + C(1) \Rightarrow C=1$。

曲线方程为：

$$y = x - 8x\ln x$$

10. 原题：设有一质量为 $M$ 的质点做直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 $k_1$）的力作用于它，此外，它还受到一个与速度成正比（比例系数为 $k_2$）的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数关系。

求解过程：

根据牛顿第二定律建立方程：$M \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = k_1 t - k_2 v \Rightarrow v' + \frac{k_2}{M}v = \frac{k_1}{M}t$

求解该一阶线性微分方程得通解：$v(t) = \frac{k_1}{k_2}t - \frac{k_1 M}{k_2^2} + C\text{e}^{-\frac{k_2}{M}t}$。

代入初值条件 $v(0)=0$ 求常数 $C$：$0 = -\frac{k_1 M}{k_2^2} + C \Rightarrow C = \frac{k_1 M}{k_2^2}$。

速度与时间的函数关系：

$$v(t) = \frac{k_1}{k_2}t - \frac{k_1 M}{k_2^2}\left(1 - \text{e}^{-\frac{k_2}{M}t}\right)$$

四、考研真题

11. 原题：(2006204) 求微分方程 $y' = \frac{y(1-x)}{x}$ 的通解。

求解过程：

分离变量：$\frac{\text{d}y}{y} = \left(\frac{1}{x} - 1\right)\text{d}x$

两边积分：$\ln|y| = \ln|x| - x + C_1$

化简后 通解为：

$$y = C x \text{e}^{-x}$$

12. 原题：(1999213) 求初值问题 $\begin{cases} (y+\sqrt{x^2+y^2})\text{d}x - x\text{d}y = 0, (x>0) \\ y(1)=0 \end{cases}$ 的解。

求解过程：

整理方程得：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1+(y/x)^2}$ （因 $x>0$）。

令 $y=ux$，得 $xu' = \sqrt{1+u^2}$。

分离变量积分：$\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{\text{d}x}{x} \Rightarrow \ln(u+\sqrt{1+u^2}) = \ln x + \ln C$

回代并化简得：$y+\sqrt{x^2+y^2} = Cx^2$。

代入初值 $y(1)=0$ 得 $0+\sqrt{1+0} = C \Rightarrow C=1$。

方程化为 $\sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$，两边平方解得：

$$y = \frac{x^2 - 1}{2}$$

13. 原题：(2001204) 求过点 $(\frac{1}{2}, 0)$，且满足关系式 $y'\arcsin x + \frac{y}{\sqrt{1-x^2}} = 1$ 的曲线方程。

求解过程：

观察左侧为全微分形式：$(y\arcsin x)' = 1$。

直接积分得：$y\arcsin x = x + C$。

代入过点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 条件：$0 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$。

曲线方程为：

$$y = \frac{x - 1/2}{\arcsin x}$$

14. 原题：(2008210) 求微分方程 $(y+x^2\text{e}^{-x})\text{d}x - x\text{d}y = 0$ 的通解。

求解过程：

重组项并同除以 $x^2$：$\frac{x\text{d}y - y\text{d}x}{x^2} = \text{e}^{-x}\text{d}x \Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)' = \text{e}^{-x}$。

两边积分得：$\frac{y}{x} = -\text{e}^{-x} + C$。

化简后 通解为：

$$y = Cx - x\text{e}^{-x}$$

15. 原题：(2012212) 求微分方程 $y\text{d}x + (x-3y^2)\text{d}y = 0$ 满足初值条件 $y(1)=1$ 的解。

求解过程：

改写为以 $x$ 为未知函数的微分方程：$\frac{\text{d}x}{\text{d}y} + \frac{1}{y}x = 3y$。

这是一阶线性方程，积分因子为 $y$，方程化为 $(xy)' = 3y^2$。

积分得：$xy = y^3 + C \Rightarrow x = y^2 + \frac{C}{y}$。

代入初值 $x=1$ 时 $y=1$，得 $1 = 1 + C \Rightarrow C=0$。

得到 $x = y^2$，由初值条件知 $y>0$，故 解为：

$$y = \sqrt{x}$$

第3节可降阶的高阶微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

4（5）待校验

一、基础题

1. 求下列微分方程的通解：

(1) $y'' = \text{e}^{2x} - \sin 2x$

对原方程连续进行两次积分：

第一次积分：

$$y' = \int (\text{e}^{2x} - \sin 2x) \text{d}x = \frac{1}{2}\text{e}^{2x} + \frac{1}{2}\cos 2x + C_1$$

第二次积分：

$$y = \int \left( \frac{1}{2}\text{e}^{2x} + \frac{1}{2}\cos 2x + C_1 \right) \text{d}x$$$$y = \frac{1}{4}\text{e}^{2x} + \frac{1}{4}\sin 2x + C_1 x + C_2$$

(2) $y'' = y' + x$

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，代入方程得一阶线性微分方程：

$$p' - p = x$$

其积分因子为 $\mu(x) = \text{e}^{\int -1 \text{d}x} = \text{e}^{-x}$，方程两边同乘 $\text{e}^{-x}$：

$$(\text{e}^{-x} p)' = x\text{e}^{-x}$$

两边积分得：

$$\text{e}^{-x} p = \int x\text{e}^{-x} \text{d}x = -x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} + C_1$$$$p = -x - 1 + C_1\text{e}^x$$

即 $y' = -x - 1 + C_1\text{e}^x$，再次积分得到通解：

$$y = -\frac{1}{2}x^2 - x + C_1\text{e}^x + C_2$$

(3) $(1-x^2)y'' - xy' = 0$

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为：

$$(1-x^2)p' = xp$$

分离变量：

$$\frac{\text{d}p}{p} = \frac{x}{1-x^2}\text{d}x$$

积分得：

$$\ln|p| = -\frac{1}{2}\ln|1-x^2| + \ln C_1 \Rightarrow p = \frac{C_1}{\sqrt{1-x^2}}$$

即 $y' = \frac{C_1}{\sqrt{1-x^2}}$，再次积分得到通解：

$$y = C_1 \arcsin x + C_2$$

(4) $y'' + \frac{2}{1-y}y'^2 = 0$

令 $p = y'$，此时方程不显含 $x$，故化 $y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$：

$$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y} + \frac{2}{1-y}p^2 = 0$$

假设 $p \neq 0$，分离变量得：

$$\frac{\text{d}p}{p} + \frac{2}{1-y}\text{d}y = 0$$

积分得：

$$\ln|p| - 2\ln|1-y| = \ln C_1 \Rightarrow p = C_1(1-y)^2$$

代回 $p = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，再次分离变量：

$$\frac{\text{d}y}{(1-y)^2} = C_1\text{d}x$$

积分得：

$$\frac{1}{1-y} = C_1 x + C_2 \Rightarrow 1-y = \frac{1}{C_1 x + C_2}$$$$y = 1 - \frac{1}{C_1 x + C_2}$$

(注：$p=0$ 即 $y=C$ 也是解，包含在通解形式之外，为奇解或特解)

(5) $y'' + \sqrt{1-y'^2} = 0$

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为：

$$p' = -\sqrt{1-p^2}$$

分离变量积分：

$$\frac{\text{d}p}{\sqrt{1-p^2}} = -\text{d}x \Rightarrow \arcsin p = -x + C_1$$$$p = \sin(C_1 - x)$$

代回 $p = y'$ 并积分：

$$y = \int \sin(C_1 - x) \text{d}x = \cos(C_1 - x) + C_2$$

(6) $xy'' + y' = 0$

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为：

$$xp' + p = 0 \Rightarrow (xp)' = 0$$

直接积分：

$$xp = C_1 \Rightarrow p = \frac{C_1}{x}$$

即 $y' = \frac{C_1}{x}$，再次积分得到通解：

$$y = C_1 \ln|x| + C_2$$

2. 求方程 $y'' = x$ 的过点 $P(0,1)$ 且在该点与直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 相切的积分曲线.

对方程 $y'' = x$ 积分得：

$$y' = \frac{1}{2}x^2 + C_1$$

因曲线在 $P(0,1)$ 处与 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 相切，故该点处的斜率为直线斜率，即 $y'(0) = \frac{1}{2}$。

代入得 $\frac{1}{2}(0)^2 + C_1 = \frac{1}{2} \Rightarrow C_1 = \frac{1}{2}$。

所以 $y' = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$。

再次积分：

$$y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x + C_2$$

代入点 $P(0,1)$ 坐标 $y(0) = 1$：

$0 + 0 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 1$。

该积分曲线方程为：

$$y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x + 1$$

3. 求方程 $y''y^2 + 1 = 0$ 的经过点 $P(0,1)$ 且在该点具有斜率为 $\sqrt{2}$ 的切线的积分曲线.

令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$，代入方程：

$$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}y^2 + 1 = 0 \Rightarrow p\text{d}p = -\frac{1}{y^2}\text{d}y$$

积分得：

$$\frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{y} + C_1$$

由初值条件：当 $x=0$ 时，$y=1$，斜率 $p = y'(0) = \sqrt{2}$。代入得：

$$\frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 = \frac{1}{1} + C_1 \Rightarrow 1 = 1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$$

故 $p^2 = \frac{2}{y}$。因为 $p(0) = \sqrt{2} > 0$，开方取正号：

$$p = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \Rightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \Rightarrow \sqrt{y}\text{d}y = \sqrt{2}\text{d}x$$

积分得：

$$\frac{2}{3}y^{3/2} = \sqrt{2}x + C_2$$

再将初始条件 $y(0) = 1$ 代入：

$$\frac{2}{3}(1)^{3/2} = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{2}{3}$$

曲线方程为：

$$\frac{2}{3}y^{3/2} = \sqrt{2}x + \frac{2}{3} \Rightarrow y^{3/2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}x + 1$$

整理得：

$$y = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}x + 1\right)^{2/3}$$

二、提高题

4. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解：

(1) $xy'' = y' - x(y')^2, y(2)=2, y'(2)=1$

令 $p = y'$，方程化为：

$$xp' = p - xp^2 \Rightarrow p' - \frac{1}{x}p = -p^2$$

这是一个伯努利方程。两边同除以 $p^2$：

$$p^{-2}p' - \frac{1}{x}p^{-1} = -1$$

令 $z = p^{-1}$，则 $z' = -p^{-2}p'$，代入化为一阶线性方程：

$$-z' - \frac{1}{x}z = -1 \Rightarrow z' + \frac{1}{x}z = 1$$

积分因子 $\mu(x) = x$，方程变为 $(xz)' = x$，积分得：

$$xz = \frac{1}{2}x^2 + C_1 \Rightarrow z = \frac{x}{2} + \frac{C_1}{x} = \frac{x^2+2C_1}{2x}$$

回代 $z = \frac{1}{p}$ 得：

$$p = \frac{2x}{x^2+2C_1}$$

由 $y'(2) = p(2) = 1$ 代入：$1 = \frac{4}{4+2C_1} \Rightarrow 4+2C_1 = 4 \Rightarrow C_1 = 0$。

于是 $y' = p = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$。积分得：

$$y = 2\ln|x| + C_2$$

由 $y(2) = 2$ 代入：$2 = 2\ln 2 + C_2 \Rightarrow C_2 = 2 - 2\ln 2$。

特解为：

$$y = 2\ln x + 2 - 2\ln 2 = 2\ln\left(\frac{x}{2}\right) + 2$$

(2) $y'' = 3\sqrt{y}, y(0)=1, y'(0)=2$

令 $p=y'$，$y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$：

$$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y} = 3y^{1/2} \Rightarrow p\text{d}p = 3y^{1/2}\text{d}y$$

积分得 $\frac{1}{2}p^2 = 2y^{3/2} + C_1$。

由 $y(0)=1, p(0)=2$ 代入得 $\frac{1}{2}(4) = 2(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$。

因此 $p^2 = 4y^{3/2}$，因为 $p(0)=2 > 0$，取正根得 $p = 2y^{3/4}$。

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^{3/4} \Rightarrow y^{-3/4}\text{d}y = 2\text{d}x$$

积分得 $4y^{1/4} = 2x + C_2$。

由 $y(0)=1$ 代入得 $4 = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 4$。

于是 $4y^{1/4} = 2x + 4 \Rightarrow 2y^{1/4} = x + 2$。

特解为：

$$y = \left(\frac{x+2}{2}\right)^4$$

(3) $y'' - \text{e}^{2y} = 0, y(0)=0, y'(0)=1$

令 $p=y'$，$y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$：

$$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y} = \text{e}^{2y} \Rightarrow p\text{d}p = \text{e}^{2y}\text{d}y$$

积分得 $\frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}\text{e}^{2y} + C_1$。

由 $y(0)=0, p(0)=1$ 得 $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$。

所以 $p^2 = \text{e}^{2y}$，因 $p(0)=1 > 0$，取正根得 $p = \text{e}^y$。

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \text{e}^y \Rightarrow \text{e}^{-y}\text{d}y = \text{d}x$$

积分得 $-\text{e}^{-y} = x + C_2$。

由 $y(0)=0$ (此时 $x=0$) 得 $-1 = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = -1$。

于是 $-\text{e}^{-y} = x - 1 \Rightarrow \text{e}^{-y} = 1 - x$。

特解为：

$$y = -\ln(1-x)$$

(4) $yy'' = 2[(y')^2 - y'], y(0)=1, y'(0)=2$

令 $p=y'$，$y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$：

$$yp\frac{\text{d}p}{\text{d}y} = 2(p^2 - p)$$

由于 $p(0)=2 \neq 0$，两边同除以 $p$：

$$y\frac{\text{d}p}{\text{d}y} = 2(p - 1) \Rightarrow \frac{\text{d}p}{p-1} = 2\frac{\text{d}y}{y}$$

积分得 $\ln|p-1| = 2\ln|y| + \ln C_1 \Rightarrow p-1 = C_1 y^2$。

由 $y(0)=1, p(0)=2$ 得 $2-1 = C_1(1)^2 \Rightarrow C_1 = 1$。

所以 $p = y^2 + 1$，即 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y^2 + 1$。

$$\frac{\text{d}y}{y^2+1} = \text{d}x$$

积分得 $\arctan y = x + C_2$。

由 $y(0)=1$ 代入得 $\arctan 1 = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{\pi}{4}$。

特解为：

$$\arctan y = x + \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

(5) $y'' + (y')^2 = 1, y(0)=0, y'(0)=0$

令 $p=y'$，则 $y'' = p'$：

$$p' + p^2 = 1 \Rightarrow \frac{\text{d}p}{1-p^2} = \text{d}x$$

积分得 $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+p}{1-p}\right| = x + C_1$（利用等价公式为 $\text{arctanh}(p) = x+C_1$）。

由 $p(0)=0$ 得 $\frac{1}{2}\ln 1 = 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0$。

所以 $\frac{1+p}{1-p} = \text{e}^{2x}$，解出 $p$：

$$p = \frac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1} = \frac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{\text{e}^x + \text{e}^{-x}} = \tanh x$$$$y' = \tanh x \Rightarrow y = \int \frac{\sinh x}{\cosh x}\text{d}x = \ln(\cosh x) + C_2$$

由 $y(0)=0$ 得 $0 = \ln 1 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$。

特解为：

$$y = \ln(\cosh x)$$

三、考研真题

5. (2002203) 求微分方程 $yy'' + y'^2 = 0$ 满足初值条件 $y(0)=1, y'(0)=\frac{1}{2}$ 的特解.

方程左侧可逆用乘积求导法则写为 $(yy')' = 0$。

两边积分得：

$$yy' = C_1$$

代入初始条件 $y(0)=1, y'(0)=\frac{1}{2}$，得 $1 \cdot \frac{1}{2} = C_1 \Rightarrow C_1 = \frac{1}{2}$。

于是得到：

$$y\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y\text{d}y = \text{d}x$$

再次积分：

$$y^2 = x + C_2$$

代入 $y(0)=1$ 得 $1^2 = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 1$。

所以 $y^2 = x + 1$。由于 $y(0) = 1 > 0$，开平方取正值，特解为：

$$y = \sqrt{x+1}$$

6. (2007219) 求微分方程 $y''(x+y'^2) = y'$ 满足初值条件 $y(1)=1, y'(1)=1$ 的特解.

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，将方程化为以 $y$ 的导数 $p$ 为桥梁的形式：

$$p'(x+p^2) = p$$

将 $x$ 视作未知函数，$p$ 视作自变量，化为：

$$\frac{\text{d}x}{\text{d}p} \cdot p = x+p^2 \Rightarrow \frac{\text{d}x}{\text{d}p} - \frac{1}{p}x = p$$

这是一阶线性微分方程。积分因子 $\mu(p) = \text{e}^{\int -\frac{1}{p}\text{d}p} = \frac{1}{p}$。两边乘 $\frac{1}{p}$ 得：

$$\left(\frac{x}{p}\right)' = 1$$

积分得：

$$\frac{x}{p} = p + C_1 \Rightarrow x = p^2 + C_1 p$$

利用条件：当 $x=1$ 时，$p=y'(1)=1$。代入得 $1 = 1^2 + C_1(1) \Rightarrow C_1 = 0$。

所以 $x = p^2$。因 $p(1)=1>0$，开方取正得 $p = \sqrt{x}$。

即 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = x^{1/2}$。积分得：

$$y = \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2$$

利用条件 $y(1)=1$，代入得 $1 = \frac{2}{3} + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{1}{3}$。

特解为：

$$y = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{3}$$

第4节高阶线性微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

17，18 待校验

一、基础题

1. 设 $e^x, x^2e^x$ 是某二阶齐次线性微分方程的两个特解，证明它们是线性无关的，并求该微分方程的通解.

设有常数 $c_1, c_2$ 使得 $c_1 e^x + c_2 x^2 e^x = 0$ 恒成立。

等式两边同除以 $e^x$ (因为 $e^x \neq 0$)，得到 $c_1 + c_2 x^2 = 0$。

对该式关于 $x$ 求导两次，得 $2c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = 0$。

将 $c_2 = 0$ 代回，得到 $c_1 = 0$。

因为只有当 $c_1=c_2=0$ 时等式才成立，所以 $e^x$ 与 $x^2e^x$ 线性无关。

根据线性微分方程解的结构定理，该微分方程的通解为特解的线性组合：

$$y = C_1 e^x + C_2 x^2 e^x$$

2. 设 $y_1$ 和 $y_2$ 线性无关，且 $A_1 B_2 - A_2 B_1 \neq 0$，证明：$A_1 y_1 + A_2 y_2$ 与 $B_1 y_1 + B_2 y_2$ 线性无关.

设有常数 $k_1, k_2$ 使得 $k_1 (A_1 y_1 + A_2 y_2) + k_2 (B_1 y_1 + B_2 y_2) = 0$ 恒成立。

整理得：$(k_1 A_1 + k_2 B_1)y_1 + (k_1 A_2 + k_2 B_2)y_2 = 0$。

因为 $y_1, y_2$ 线性无关，所以它们的系数必须为零，即：

$$\begin{cases} k_1 A_1 + k_2 B_1 = 0 \\ k_1 A_2 + k_2 B_2 = 0 \end{cases}$$

这是一个关于 $k_1, k_2$ 的齐次线性方程组。其系数行列式为：

$$\Delta = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = A_1 B_2 - A_2 B_1$$

已知 $A_1 B_2 - A_2 B_1 \neq 0$，即系数行列式不为零，根据克莱姆法则，该方程组只有唯一零解 $k_1 = k_2 = 0$。

因此，$A_1 y_1 + A_2 y_2$ 与 $B_1 y_1 + B_2 y_2$ 线性无关。

3. 求下列二阶齐次线性微分方程的通解：

(1) $y''+4y'+4y=0$

特征方程为 $r^2+4r+4=0$，解得二重根 $r_1=r_2=-2$。

通解为：

$$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$$

(2) $y''+y=0$

特征方程为 $r^2+1=0$，解得一对共轭复根 $r=\pm i$。

通解为：

$$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$

(3) $y''+y'-2y=0$

特征方程为 $r^2+r-2=0$，解得两个不相等的实根 $r_1=1, r_2=-2$。

通解为：

$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$$

(4) $y''-4y'+5y=0$

特征方程为 $r^2-4r+5=0$，解得一对共轭复根 $r = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = 2 \pm i$。

通解为：

$$y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$$

4. 求下列二阶非齐次线性微分方程的通解：

(1) $2y''+y'-y=3e^x$

特征方程 $2r^2+r-1=0$，解得 $r_1=1/2, r_2=-1$。齐次通解 $y_h = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x}$。

因为 $\alpha=1$ 不是特征根，设特解 $y^* = A e^x$。代入方程：

$2A e^x + A e^x - A e^x = 3e^x \Rightarrow 2A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{2}$。

通解为：

$$y = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x} + \frac{3}{2}e^x$$

(2) $y''+y'=2x$

特征方程 $r^2+r=0$，解得 $r_1=0, r_2=-1$。齐次通解 $y_h = C_1 + C_2 e^{-x}$。

因为 $\alpha=0$ 是单实根，设特解 $y^* = x(Ax+B) = Ax^2+Bx$。

$y^{*'} = 2Ax+B, y^{*''} = 2A$。代入方程：

$2A + 2Ax+B = 2x \Rightarrow 2A=2, 2A+B=0 \Rightarrow A=1, B=-2$。

通解为：

$$y = C_1 + C_2 e^{-x} + x^2 - 2x$$

(3) $y''+6y'+8y=4-6x$

特征方程 $r^2+6r+8=0$，解得 $r_1=-2, r_2=-4$。

$\alpha=0$ 不是特征根，设特解 $y^* = Ax+B$。代入方程：

$0 + 6A + 8(Ax+B) = -6x + 4 \Rightarrow 8A=-6, 6A+8B=4 \Rightarrow A=-\frac{3}{4}, B=\frac{17}{16}$。

通解为：

$$y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-4x} - \frac{3}{4}x + \frac{17}{16}$$

(4) $y''+a^2y=e^x (a>0)$

特征方程 $r^2+a^2=0$，解得 $r = \pm ai$。

$\alpha=1$ 不是特征根，设特解 $y^* = A e^x$。代入方程：

$A e^x + a^2 A e^x = e^x \Rightarrow A(1+a^2) = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{1+a^2}$。

通解为：

$$y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{1+a^2}e^x$$

(5) $y''-4y'+4y=\sin x$

特征方程 $r^2-4r+4=0$，解得 $r_{1,2}=2$。

$\alpha=\pm i$ 不是特征根，设特解 $y^* = A\cos x + B\sin x$。

代入方程整理得：$(3A-4B)\cos x + (4A+3B)\sin x = \sin x$。

联立得 $3A-4B=0, 4A+3B=1 \Rightarrow A=4/25, B=3/25$。

通解为：

$$y = (C_1+C_2 x)e^{2x} + \frac{4}{25}\cos x + \frac{3}{25}\sin x$$

(6) $y''+2y'-3y=e^{-3x}$

特征方程 $r^2+2r-3=0$，解得 $r_1=1, r_2=-3$。

$\alpha=-3$ 是单特征根，设特解 $y^* = Ax e^{-3x}$。

$y^{*'} = A(1-3x)e^{-3x}, y^{*''} = A(-6+9x)e^{-3x}$。代入方程：

$A(-6+9x) + 2A(1-3x) - 3Ax = 1 \Rightarrow -4A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{4}$。

通解为：

$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} - \frac{1}{4}x e^{-3x}$$

5. 求下列微分方程初值问题的解：

(1) $y''-3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=2$

特征方程 $r^2-3r+2=0 \Rightarrow r_1=1, r_2=2$。

通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$，导数 $y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}$。

代入初值：$C_1+C_2=1, C_1+2C_2=2 \Rightarrow C_1=0, C_2=1$。

解为：

$$y = e^{2x}$$

(2) $y''-10y'+9y=e^{2x}, y(0)=\frac{6}{7}, y'(0)=\frac{33}{7}$

特征根 $r_1=1, r_2=9$。设特解 $y^* = Ae^{2x}$，代入得 $(4-20+9)A=1 \Rightarrow A=-1/7$。

通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x}$。

代入初值：$C_1+C_2-1/7 = 6/7 \Rightarrow C_1+C_2=1$。

$y' = C_1 e^x + 9C_2 e^{9x} - \frac{2}{7}e^{2x} \Rightarrow C_1+9C_2-2/7 = 33/7 \Rightarrow C_1+9C_2=5$。

解得 $C_2=1/2, C_1=1/2$。

解为：

$$y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x}$$

(3) $y''+y=\frac{1}{2}\cos x, y(0)=1, y'(0)=1$

特征根 $r=\pm i$。因为激励项频率与特征根重合，设特解 $y^* = x(A\cos x+B\sin x)$。

$y^{*''}+y^* = -2A\sin x+2B\cos x = \frac{1}{2}\cos x \Rightarrow A=0, B=1/4$。

通解 $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{4}x\sin x$。

$y(0) = C_1 = 1$。

$y' = -C_1\sin x+C_2\cos x + \frac{1}{4}(\sin x+x\cos x) \Rightarrow y'(0) = C_2 = 1$。

解为：

$$y = \cos x + \sin x + \frac{1}{4}x\sin x$$

(4) $y''-y=4xe^x, y(0)=0, y'(0)=1$

特征根 $r_1=1, r_2=-1$。$\alpha=1$ 为单实根，设特解 $y^* = x(Ax+B)e^x = (Ax^2+Bx)e^x$。

求导并代入得 $y^{*''}-y^* = (4Ax+2A+2B)e^x = 4xe^x \Rightarrow 4A=4, 2A+2B=0 \Rightarrow A=1, B=-1$。

通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + (x^2-x)e^x$。

$y(0) = C_1+C_2=0 \Rightarrow C_2 = -C_1$。

$y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x} + (x^2+x-1)e^x \Rightarrow y'(0) = C_1-C_2-1=1 \Rightarrow C_1-C_2=2$。

解得 $C_1=1, C_2=-1$。

解为：

$$y = e^x - e^{-x} + (x^2-x)e^x$$

6. 求下列高阶线性微分方程的通解：

(1) $y^{(4)}-y=0$

特征方程 $r^4-1=0 \Rightarrow r=\pm 1, \pm i$。

通解为：

$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x$$

(2) $y^{(4)}-2y'''+y''=0$

特征方程 $r^4-2r^3+r^2=0 \Rightarrow r^2(r-1)^2=0 \Rightarrow r=0$ (二重), $r=1$ (二重)。

通解为：

$$y = C_1 + C_2 x + (C_3 + C_4 x)e^x$$

(3) $y^{(4)}+5y''-36y=0$

特征方程 $r^4+5r^2-36=0 \Rightarrow (r^2+9)(r^2-4)=0 \Rightarrow r=\pm 3i, \pm 2$。

通解为：

$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos 3x + C_4 \sin 3x$$

(4) $y^{(4)}+2y''+y=0$

特征方程 $r^4+2r^2+1=0 \Rightarrow (r^2+1)^2=0 \Rightarrow r=\pm i$ (各二重)。

通解为：

$$y = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x$$

7. 设方程 $y'''+6y''+(9+a^2)y'=1$，其中常数 $a>0$，求其通解.

特征方程 $r^3+6r^2+(9+a^2)r = r[(r+3)^2+a^2] = 0 \Rightarrow r_1=0, r_{2,3}=-3\pm ai$。

因为常数项 $1$ 对应的 $\alpha=0$ 是单根，设特解 $y^* = Ax$。

代入得 $(9+a^2)A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9+a^2}$。

通解为：

$$y = C_1 + e^{-3x}(C_2 \cos ax + C_3 \sin ax) + \frac{x}{9+a^2}$$

8. 设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $y''-3y'+2y=2e^x$，且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=x^2-x+1$ 在该点的切线重合，求函数 $y=f(x)$.

特征方程 $r^2-3r+2=0 \Rightarrow r=1,2$。齐次通解为 $C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。

$\alpha=1$ 为单实根，设特解 $y^* = Ax e^x$。代入得 $A(x+2) - 3A(x+1) + 2Ax = 2 \Rightarrow -A=2 \Rightarrow A=-2$。

通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - 2x e^x$。

切点重合意味着 $y(0)=1$，且 $y'(0) = (x^2-x+1)'|_{x=0} = -1$。

$y(0) = C_1+C_2 = 1$。

$y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x} - 2(x+1)e^x \Rightarrow y'(0) = C_1+2C_2-2 = -1 \Rightarrow C_1+2C_2 = 1$。

联立解得 $C_1=1, C_2=0$。

函数为：

$$y = e^x - 2xe^x = (1-2x)e^x$$

9. 已知 $y_1=e^x$ 是齐次方程 $(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0$ 的一个解，求此方程的通解.

设 $y = y_1 u = e^x u$，则 $y'=e^x(u+u'), y''=e^x(u+2u'+u'')$。代入原方程并整理消去 $e^x$ 得：

$(2x-1)(u''+2u'+u) - (2x+1)(u+u') + 2u = 0 \Rightarrow (2x-1)u'' + (2x-3)u' = 0$。

设 $v=u'$，则 $\frac{dv}{v} = -\frac{2x-3}{2x-1}dx = (-1 + \frac{2}{2x-1})dx$。

积分得 $\ln|v| = -x + \ln|2x-1| \Rightarrow v = (2x-1)e^{-x}$。

即 $u' = (2x-1)e^{-x}$，积分求得 $u = \int (2x-1)e^{-x}dx = -(2x+1)e^{-x} + C_1$。

则 $y = e^x[-(2x+1)e^{-x} + C_1] = C_1 e^x - (2x+1)$。

通解为：

$$y = C_1 e^x + C_2(2x+1)$$

二、提高题

10. 设函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足 $\varphi(x)=e^x+\int_0^x t\varphi(t)dt - x\int_0^x \varphi(t)dt$，求 $\varphi(x)$.

将积分式变形：$\varphi(x)=e^x+\int_0^x (t-x)\varphi(t)dt$。

对 $x$ 求导：$\varphi'(x) = e^x - \int_0^x \varphi(t)dt$。

再次对 $x$ 求导：$\varphi''(x) = e^x - \varphi(x) \Rightarrow \varphi''(x) + \varphi(x) = e^x$。

将 $x=0$ 代入原方程和一阶导数式，得初值：$\varphi(0)=1, \varphi'(0)=1$。

微分方程 $\varphi''+\varphi=e^x$ 的通解为 $\varphi(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}e^x$。

代入初值 $\varphi(0) = C_1+1/2=1 \Rightarrow C_1=1/2$；$\varphi'(0) = C_2+1/2=1 \Rightarrow C_2=1/2$。

函数为：

$$\varphi(x) = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x + e^x)$$

11. 设 $f(0)=0, f'(x)=1+\int_0^x [6\sin^2 t - f(t)]dt$，其中 $f$ 为二阶可微函数，求 $f(x)$.

对等式两边求导：$f''(x) = 6\sin^2 x - f(x) \Rightarrow f''(x)+f(x) = 3 - 3\cos 2x$。

且由原等式知 $f'(0) = 1$。已知 $f(0)=0$。

方程 $f''+f = 3 - 3\cos 2x$ 对应的齐次通解为 $C_1\cos x+C_2\sin x$。

特解：对常数 $3$，特解为 $3$；对 $-3\cos 2x$，设特解 $A\cos 2x$，代入得 $-4A+A=-3 \Rightarrow A=1$，即 $\cos 2x$。

通解 $f(x) = C_1\cos x+C_2\sin x + 3 + \cos 2x$。

$f(0) = C_1+3+1=0 \Rightarrow C_1=-4$。

$f'(x) = 4\sin x+C_2\cos x - 2\sin 2x \Rightarrow f'(0) = C_2=1$。

函数为：

$$f(x) = -4\cos x + \sin x + \cos 2x + 3$$

12. 设方程 $y''+a^2y=\sin x$，其中常数 $a>0$，求其通解.

特征根 $r = \pm ai$。

当 $a \neq 1$ 时，$\pm i$ 不是特征根，设特解 $y^* = A\sin x$。代入得 $-A+a^2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{a^2-1}$。

此时通解为：

$$y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{a^2-1}\sin x$$

当 $a = 1$ 时，方程为 $y''+y=\sin x$，特征根与激励项共振。设特解 $y^* = x(A\cos x+B\sin x)$。

代入得 $-2A\sin x+2B\cos x = \sin x \Rightarrow A=-1/2, B=0$，即 $y^*=-\frac{1}{2}x\cos x$。

此时通解为：

$$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2}x\cos x$$

13. 设方程 $y''-2y'+y=1+x+2(3x^2-2)e^x$，求其通解.

特征方程 $(r-1)^2=0 \Rightarrow r_1=r_2=1$。

右端项分拆为两部分。对于 $1+x$，设特解 $y_1^* = Ax+B$，代入得 $A=1, B=3 \Rightarrow y_1^* = x+3$。

对于 $(6x^2-4)e^x$，因为 $\alpha=1$ 是二重特征根，设特解 $y_2^* = x^2(Ax^2+Bx+C)e^x$。更简便的方法是令 $y_2^* = u e^x$：

代入方程得 $e^x u'' = (6x^2-4)e^x \Rightarrow u'' = 6x^2-4 \Rightarrow u = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2$。

所以 $y_2^* = (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2)e^x$。

通解为：

$$y = (C_1 + C_2 x)e^x + (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2)e^x + x + 3$$

14. 设长度为 $l$ 的弹簧，其上端固定，将5个质量都为 $m$ 的重物同时挂于弹簧下端，使弹簧伸长 $5a$。现突然取去其中的一个重物，使弹簧由静止状态开始振动，若不计弹簧本身重量，求所挂重物的运动规律.

设弹簧劲度系数为 $k$。挂5个重物时平衡，有 $5mg = k(5a) \Rightarrow k = mg/a$。

去掉1个重物后，剩余质量为 $4m$。以此时新的平衡位置为坐标原点 $x=0$（向下为正），新的平衡位置对应的弹簧伸长量为 $\Delta x = 4mg/k = 4a$。

运动方程为 $4m \ddot{x} = -kx \Rightarrow \ddot{x} + \frac{g}{4a}x = 0$。

解为 $x(t) = C_1 \cos(\sqrt{\frac{g}{4a}}t) + C_2 \sin(\sqrt{\frac{g}{4a}}t)$。

初始时刻（去掉重物的瞬间），重物位于原平衡位置，即坐标 $x(0) = 5a - 4a = a$。且初速度为 0，即 $\dot{x}(0) = 0$。

代入得 $C_1 = a, C_2 = 0$。

若以新平衡位置为原点，重物运动规律为：

$$x(t) = a \cos\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{a}} t\right)$$

三、考研真题

15. (2015212) 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y''+y'-2y=0$ 的解，且有极值 $y(0)=3$，则 $y(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$.

特征根 $r_1=1, r_2=-2 \Rightarrow y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$。

极值条件意味着 $y'(0)=0$ 且 $y(0)=3$。

$y(0) = C_1+C_2 = 3$。

$y' = C_1 e^x - 2C_2 e^{-2x} \Rightarrow y'(0) = C_1-2C_2 = 0 \Rightarrow C_1=2C_2$。

解得 $C_2=1, C_1=2$。

结果填：$2e^x + e^{-2x}$

16. (2008203) 在下列微分方程中，以 $y=C_1e^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$ 为通解的是( )

由通解形式可知，特征根为 $r_1=1, r_{2,3}=\pm 2i$。

其对应的特征方程为 $(r-1)(r^2+4) = 0 \Rightarrow r^3 - r^2 + 4r - 4 = 0$。

对应的微分方程为 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$。

选 D。

17. (2006210) 函数 $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}+xe^x$ 满足的一个微分方程是( )

由齐次解部分 $C_1e^x+C_2e^{-2x}$ 可知，特征根为 $1, -2$，对应的微分算子为 $(r-1)(r+2) = r^2+r-2$。

所以齐次方程部分为 $y''+y'-2y=0$。

将特解 $y^* = xe^x$ 代入方程左边：

$(xe^x)'' + (xe^x)' - 2(xe^x) = (x+2)e^x + (x+1)e^x - 2xe^x = 3e^x$。

所以非齐次方程为 $y''+y'-2y=3e^x$。

选 A。

18. (2004211) 微分方程 $y''+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为( )

特征方程为 $r^2+1=0 \Rightarrow r=\pm i$。

右侧 $f_1(x) = x^2+1$，此时 $\alpha=0$ 不是特征根，对应特解形如 $ax^2+bx+c$。

右侧 $f_2(x) = \sin x$，此时 $\alpha=i$ 是单特征根，对应特解形如 $x(A\sin x+B\cos x)$。

相加即为整体特解形式：$y^* = ax^2+bx+c + x(A\sin x+B\cos x)$。

选 B。

19. (2013213) 已知 $y_1=e^{3x}-xe^{2x}, y_2=e^x-xe^{2x}, y_3=-xe^{2x}$ 为某个二阶非齐次线性微分方程的3个解，求该方程满足初值条件 $y(0)=0, y'(0)=1$ 的特解.

根据非齐次线性方程解的性质，$y_1-y_3 = e^{3x}$ 与 $y_2-y_3 = e^x$ 均为对应齐次方程的解。

因此对应齐次方程的通解为 $C_1 e^{3x} + C_2 e^x$。

原非齐次方程的通解为 $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^x - x e^{2x}$。

代入初值条件：

$y(0) = C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = -C_1$。

$y' = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^x - (2x+1)e^{2x} \Rightarrow y'(0) = 3C_1 + C_2 - 1 = 1 \Rightarrow 3C_1 + C_2 = 2$。

联立解得 $2C_1 = 2 \Rightarrow C_1=1, C_2=-1$。

特解为：

$$y = e^{3x} - e^x - x e^{2x}$$

第5节欧拉方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

（4）待校验

基础题

求下列欧拉方程的通解：

(1) $x^2 y'' + xy' - y = 0$

对于欧拉方程，作变量代换 $x = \text{e}^t$（假设 $x>0$），即 $t = \ln x$。

将自变量转换为 $t$，设微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，则有：

$xy' = Dy$

$x^2 y'' = D(D-1)y$

代入原方程，得：

$$[D(D-1) + D - 1]y = 0$$$$(D^2 - D + D - 1)y = 0 \Rightarrow (D^2 - 1)y = 0$$

对应的特征方程为：$r^2 - 1 = 0$，解得特征根 $r_1 = 1, r_2 = -1$。

因此，关于 $t$ 的方程的通解为：

$$y(t) = C_1 \text{e}^t + C_2 \text{e}^{-t}$$

将 $\text{e}^t = x, \text{e}^{-t} = x^{-1}$ 代回，得到原方程的通解：

$$y = C_1 x + \frac{C_2}{x}$$

(2) $x^2 y'' + xy' - 4y = x^3$

作变量代换 $x = \text{e}^t$（即 $t = \ln x$），代入微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，并将方程右端也转化为关于 $t$ 的函数：

$$[D(D-1) + D - 4]y = (\text{e}^t)^3$$

化简得常系数非齐次线性微分方程：

$$(D^2 - 4)y = \text{e}^{3t}$$

对应的齐次方程的特征方程为 $r^2 - 4 = 0$，解得特征根 $r_{1,2} = \pm 2$。

所以齐次方程的通解为 $y_h(t) = C_1 \text{e}^{2t} + C_2 \text{e}^{-2t}$。

对于非齐次项 $f(t) = \text{e}^{3t}$，由于 $\alpha=3$ 不是特征根，设特解为 $y^*(t) = A\text{e}^{3t}$。

代入方程 $y'' - 4y = \text{e}^{3t}$，得：

$$9A\text{e}^{3t} - 4A\text{e}^{3t} = \text{e}^{3t} \Rightarrow 5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$$

特解为 $y^*(t) = \frac{1}{5}\text{e}^{3t}$。

关于 $t$ 的通解为：$y(t) = C_1 \text{e}^{2t} + C_2 \text{e}^{-2t} + \frac{1}{5}\text{e}^{3t}$。

将 $\text{e}^t = x$ 代回，得到原方程的通解：

$$y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^2} + \frac{1}{5}x^3$$

(3) $x^3 y''' + 3x^2 y'' - 2xy' + 2y = 0$

作变量代换 $x = \text{e}^t$（即 $t = \ln x$），引入微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$：

$xy' = Dy$

$x^2 y'' = D(D-1)y$

$x^3 y''' = D(D-1)(D-2)y$

代入原方程，得：

$$[D(D-1)(D-2) + 3D(D-1) - 2D + 2]y = 0$$

展开并化简算子多项式：

$$D(D^2 - 3D + 2) + 3D^2 - 3D - 2D + 2$$$$= D^3 - 3D^2 + 2D + 3D^2 - 5D + 2 = D^3 - 3D + 2$$

化简后的微分方程为：$(D^3 - 3D + 2)y = 0$。

对应的特征方程为 $r^3 - 3r + 2 = 0$。

观察可知 $r=1$ 是一个根。因式分解：$r^3 - 3r + 2 = (r-1)(r^2 + r - 2) = (r-1)^2(r+2) = 0$。

解得特征根：$r_1=r_2=1$ (二重根), $r_3=-2$。

关于 $t$ 的方程通解为：

$$y(t) = (C_1 + C_2 t)\text{e}^t + C_3 \text{e}^{-2t}$$

将 $t = \ln x, \text{e}^t = x$ 代回，得到原方程的通解：

$$y = (C_1 + C_2 \ln x)x + \frac{C_3}{x^2}$$

(4) $x^3 y''' + 2xy' - 2y = x^2 \ln x + 3x$

作变量代换 $x = \text{e}^t, t = \ln x$，引入算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，同时替换方程右端：

$$[D(D-1)(D-2) + 2D - 2]y = (\text{e}^t)^2 \cdot t + 3\text{e}^t$$

展开并化简方程左端算子：

$$D^3 - 3D^2 + 2D + 2D - 2 = D^3 - 3D^2 + 4D - 2$$

转化为常系数线性非齐次方程：

$$(D^3 - 3D^2 + 4D - 2)y = t\text{e}^{2t} + 3\text{e}^t$$

其齐次方程的特征方程为 $r^3 - 3r^2 + 4r - 2 = 0$。

观察知 $r=1$ 是一根，因式分解为 $(r-1)(r^2 - 2r + 2) = 0$。

解得特征根：$r_1=1, r_{2,3} = 1 \pm i$。

齐次方程通解为：$y_h(t) = C_1 \text{e}^t + \text{e}^t(C_2 \cos t + C_3 \sin t)$。

利用叠加原理求特解 $y^*(t) = y_1^*(t) + y_2^*(t)$：

① 对于 $f_1(t) = t\text{e}^{2t}$，因 $\alpha=2$ 不是特征根，设特解为 $y_1^*(t) = (At+B)\text{e}^{2t}$。

求导：

$y_1^{*'} = (2At+2B+A)\text{e}^{2t}$

$y_1^{*''} = (4At+4B+4A)\text{e}^{2t}$

$y_1^{*'''} = (8At+8B+12A)\text{e}^{2t}$

代入 $y''' - 3y'' + 4y' - 2y = t\text{e}^{2t}$，消去 $\text{e}^{2t}$：

$(8At+8B+12A) - 3(4At+4B+4A) + 4(2At+2B+A) - 2(At+B) = t$

整理得：$(8-12+8-2)At + (8B+12A-12B-12A+8B+4A-2B) = t$

即 $2At + (4A+2B) = t$。

比较系数：$2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}$；$4A+2B=0 \Rightarrow 2+2B=0 \Rightarrow B=-1$。

故 $y_1^*(t) = \left(\frac{1}{2}t - 1\right)\text{e}^{2t}$。

② 对于 $f_2(t) = 3\text{e}^t$，因 $\alpha=1$ 是单特征根，设特解为 $y_2^*(t) = Ct\text{e}^t$。

求导：

$y_2^{*'} = C(t+1)\text{e}^t$

$y_2^{*''} = C(t+2)\text{e}^t$

$y_2^{*'''} = C(t+3)\text{e}^t$

代入方程：

$C(t+3) - 3C(t+2) + 4C(t+1) - 2Ct = 3$

化简得：$C[ (t-3t+4t-2t) + (3-6+4) ] = 3 \Rightarrow C(1) = 3 \Rightarrow C=3$。

故 $y_2^*(t) = 3t\text{e}^t$。

综上关于 $t$ 的通解为：

$$y(t) = C_1 \text{e}^t + \text{e}^t(C_2 \cos t + C_3 \sin t) + \left(\frac{1}{2}t - 1\right)\text{e}^{2t} + 3t\text{e}^t$$

将 $\text{e}^t = x, \text{e}^{2t} = x^2, t = \ln x$ 代回，得到原方程的通解：

$$y = C_1 x + x(C_2 \cos(\ln x) + C_3 \sin(\ln x)) + x^2\left(\frac{1}{2}\ln x - 1\right) + 3x\ln x$$

总习题六

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

3（4），14待校验

1. 填空题

(1) $2x(y''')^2 + x^2 y' + x^3 y'' = 2x^4 + x^2$ 是______阶微分方程.

方程中出现的未知函数导数的最高阶数为三阶（即 $y'''$），因此是三阶微分方程。

(2) 一阶非齐次线性微分方程 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q(x)$ 的通解为______.

根据一阶线性微分方程的求解公式，通解为 $y = \text{e}^{-\int P(x)\text{d}x} \left( \int Q(x)\text{e}^{\int P(x)\text{d}x} \text{d}x + C \right)$。

(3) 设 $y_1, y_2$ 是方程 $y' + p(x)y + q(x) = 0 \ [q(x) \neq 0]$ 的两个特解，若 $C_1 y_1 + C_2 y_2$ 也是该方程的解，则常数 $C_1, C_2$ 应该满足______.

将 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$ 代入方程，得 $C_1 y_1' + C_2 y_2' + p(x)(C_1 y_1 + C_2 y_2) + q(x) = 0$。

整理得 $C_1(y_1' + p(x)y_1) + C_2(y_2' + p(x)y_2) + q(x) = 0$。

因为 $y_1, y_2$ 是原方程的解，所以 $y_1' + p(x)y_1 = -q(x)$，且 $y_2' + p(x)y_2 = -q(x)$。

代入上式得 $-C_1 q(x) - C_2 q(x) + q(x) = 0$，即 $(1 - C_1 - C_2)q(x) = 0$。

由于 $q(x) \neq 0$，必有 $C_1 + C_2 = 1$。

(4) 设 $y_1=1, y_2=x, y_3=x^2$ 是某二阶非齐次线性微分方程的3个特解，则该方程的通解为______.

根据线性微分方程解的结构定理，非齐次方程的两个特解之差是对应齐次方程的解。

因此 $y_2 - y_1 = x - 1$ 和 $y_3 - y_1 = x^2 - 1$ 是对应齐次方程的两个解。由于它们的比值不为常数，故线性无关。

齐次方程的通解为 $C_1(x-1) + C_2(x^2-1)$。

所以原非齐次方程的通解为 $y = C_1(x-1) + C_2(x^2-1) + 1$ （也可写为 $y = C_1(x-1) + C_2(x^2-x) + 1$ 等）。

(5) 设曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0, \frac{1}{2})$，且其上任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $x\ln(1+x^2)$，则 $f(x) =$______.

由题意知微分方程为 $y' = x\ln(1+x^2)$。

两边积分得 $y = \int x\ln(1+x^2) \text{d}x = \frac{1}{2}\int \ln(1+x^2) \text{d}(1+x^2)$。

利用分部积分法：$y = \frac{1}{2} \left[ (1+x^2)\ln(1+x^2) - \int (1+x^2) \cdot \frac{1}{1+x^2} \text{d}(1+x^2) \right]$

$y = \frac{1}{2}(1+x^2)\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}(1+x^2) + C = \frac{1}{2}(1+x^2)\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x^2 + C'$。

由初始条件 $y(0) = \frac{1}{2}$，代入得 $\frac{1}{2} = 0 - 0 + C' \Rightarrow C' = \frac{1}{2}$。

因此 $f(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$。

2. 选择题

(1) 设非齐次线性微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 有两个不同的特解 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$，且 $C$ 为任意常数，则该方程的通解为 ( ).

A. $C[y_1(x) - y_2(x)]$

B. $y_1(x) + C[y_1(x) - y_2(x)]$

C. $C[y_1(x) + y_2(x)]$

D. $y_1(x) + C[y_1(x) + y_2(x)]$

根据解的结构定理，两个特解之差 $y_1(x) - y_2(x)$ 是对应齐次方程的解，因此齐次方程的通解为 $C[y_1(x) - y_2(x)]$。非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，故通解可表示为 $y_1(x) + C[y_1(x) - y_2(x)]$。选 B。

(2) 具有特解 $y_1=\text{e}^{-x}, y_2=2x\text{e}^{-x}, y_3=3\text{e}^x$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( ).

A. $y''' + y'' - y' - y = 0$

B. $y''' - y'' - y' + y = 0$

C. $y''' - 2y'' - y' + 2y = 0$

D. $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$

由特解形式可知，特征方程具有二重根 $r_1=r_2=-1$ （对应 $\text{e}^{-x}, x\text{e}^{-x}$）以及单根 $r_3=1$ （对应 $\text{e}^x$）。

特征方程为 $(r+1)^2(r-1) = (r^2+2r+1)(r-1) = r^3 + r^2 - r - 1 = 0$。

对应的微分方程为 $y''' + y'' - y' - y = 0$。选 A。

(3) 设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = \int_0^{2x} f(\frac{t}{2})\text{d}t + \ln 2$，则 $f(x) =$ ( ).

A. $\text{e}^x \ln 2$

B. $\text{e}^{2x} \ln 2$

C. $\text{e}^x + \ln 2$

D. $\text{e}^{2x} + \ln 2$

令 $u = \frac{t}{2}$，则 $\text{d}t = 2\text{d}u$。当 $t=0$ 时 $u=0$；当 $t=2x$ 时 $u=x$。

积分方程化为 $f(x) = 2\int_0^x f(u)\text{d}u + \ln 2$。

两边对 $x$ 求导得 $f'(x) = 2f(x)$，解此可分离变量微分方程得 $f(x) = C\text{e}^{2x}$。

又由原积分方程知 $f(0) = \int_0^0 + \ln 2 = \ln 2$，代入得 $C = \ln 2$。

故 $f(x) = (\ln 2)\text{e}^{2x}$。选 B。

(4) 设函数 $y_1, y_2$ 是方程 $y''' + ay' + by = f(x)$ 的两个特解，则下列结论正确的是 ( ).

A. $y_1+y_2$ 是方程 $y'''+ay'+by=f(x)$ 的解

B. $y_1-y_2$ 是方程 $y'''+ay'+by=f(x)$ 的解

C. $y_1+y_2$ 是方程 $y'''+ay'+by=0$ 的解

D. $y_1-y_2$ 是方程 $y'''+ay'+by=0$ 的解

根据线性微分方程的叠加原理，非齐次线性微分方程的两个特解之差，必然是其对应的齐次线性微分方程的解。即 $L[y_1 - y_2] = L[y_1] - L[y_2] = f(x) - f(x) = 0$。选 D。

(5) 设 $a$ 和 $b$ 为常数，则微分方程 $y'' - y = \text{e}^x + 1$ 的一个特解应具有形式 ( ).

A. $a\text{e}^x + b$

B. $ax\text{e}^x + b$

C. $a\text{e}^x + bx$

D. $ax\text{e}^x + bx$

对应齐次方程的特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，根为 $r=\pm1$。

非齐次项 $f(x) = \text{e}^x + 1 = f_1(x) + f_2(x)$。

对于 $f_1(x) = \text{e}^x$，因 $\alpha=1$ 是单特征根，特解形式为 $y_{p1} = ax\text{e}^x$。

对于 $f_2(x) = 1 = 1\cdot\text{e}^{0x}$，因 $\alpha=0$ 不是特征根，特解形式为 $y_{p2} = b$。

利用叠加原理，原方程的特解形式为 $ax\text{e}^x + b$。选 B。

3. 求下列微分方程的通解:

(1) $xy' + (1-x)y = \text{e}^x$

化为标准形式：$y' + (\frac{1}{x} - 1)y = \frac{\text{e}^x}{x}$。

积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int (\frac{1}{x} - 1)\text{d}x} = \text{e}^{\ln x - x} = x\text{e}^{-x}$。

方程两边同乘积分因子得 $(x\text{e}^{-x}y)' = 1$。

积分得 $x\text{e}^{-x}y = x + C$。

通解为 $y = (1 + \frac{C}{x})\text{e}^x$。

(2) $xy'\ln x + y = ax(\ln x + 1) \ (a \neq 0)$

化为标准形式：$y' + \frac{1}{x\ln x}y = a\frac{\ln x + 1}{\ln x}$。

积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int \frac{1}{x\ln x}\text{d}x} = \text{e}^{\ln(\ln x)} = \ln x$。

两边同乘 $\ln x$ 得 $(y\ln x)' = a(\ln x + 1)$。

两边积分得 $y\ln x = a \int (\ln x + 1)\text{d}x = a(x\ln x) + C$。

通解为 $y = ax + \frac{C}{\ln x}$。

(3) $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + xy - x^3 y^3 = 0$

这是伯努利方程，变形为 $y^{-3}y' + xy^{-2} = x^3$。

令 $z = y^{-2}$，则 $z' = -2y^{-3}y'$，代入化简得：$-z' + 2xz = 2x^3$。

应用一阶线性方程求解公式：

$z = \text{e}^{\int 2x\text{d}x} \left( \int -2x^3 \text{e}^{\int -2x\text{d}x} \text{d}x + C \right) = \text{e}^{x^2} \left( \int -2x^3 \text{e}^{-x^2} \text{d}x + C \right)$。

计算积分为 $\int x^2 \text{d}(\text{e}^{-x^2}) = x^2\text{e}^{-x^2} - \int \text{e}^{-x^2} 2x\text{d}x = (x^2+1)\text{e}^{-x^2}$。

所以 $z = \text{e}^{x^2} [ (x^2+1)\text{e}^{-x^2} + C ] = x^2+1 + C\text{e}^{x^2}$。

代回得通解：$y^2 = \frac{1}{x^2+1+C\text{e}^{x^2}}$。

(4) $yy'' - (y')^2 - 1 = 0$

方程不显含 $x$，令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$。代入得 $yp\frac{\text{d}p}{\text{d}y} - p^2 - 1 = 0$。

分离变量：$\frac{p}{p^2+1}\text{d}p = \frac{\text{d}y}{y}$。

积分得 $\frac{1}{2}\ln(p^2+1) = \ln|y| + \ln C_1 \Rightarrow p^2+1 = C_1^2 y^2$。

所以 $p = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \pm \sqrt{C_1^2 y^2 - 1}$。

分离变量得 $\frac{\text{d}y}{\sqrt{C_1^2 y^2 - 1}} = \pm \text{d}x$。

积分得 $\frac{1}{C_1} \text{arcosh}(C_1 y) = \pm x + C_2$。

化简后通解为 $y = C_1 \cosh\left(\frac{x + C_2}{C_1}\right)$（注：常数符号已重定义整理）。

(5) $y'' + 2y' + y = x\text{e}^x$

特征根 $r_1=r_2=-1$。齐次通解为 $y_h = (C_1 + C_2 x)\text{e}^{-x}$。

对于 $x\text{e}^x$，因 $\alpha=1$ 不是特征根，设特解 $y_p = (Ax+B)\text{e}^x$。

代入方程化简得：$4Ax + (4A+4B) = x$。

比较系数得 $4A=1, 4A+4B=0$，解得 $A=\frac{1}{4}, B=-\frac{1}{4}$。

通解为 $y = (C_1 + C_2 x)\text{e}^{-x} + \frac{1}{4}(x-1)\text{e}^x$。

(6) $y'' + y = x + \cos x$

特征根 $r=\pm \text{i}$。齐次通解 $y_h = C_1\cos x + C_2\sin x$。

利用叠加原理设特解 $y_p = x + x(A\cos x + B\sin x)$。

将 $y_{p2} = x(A\cos x + B\sin x)$ 代入 $y''+y=\cos x$，得 $-2A\sin x + 2B\cos x = \cos x$，故 $A=0, B=\frac{1}{2}$。

通解为 $y = C_1\cos x + C_2\sin x + x + \frac{1}{2}x\sin x$。

(7) $y'' + 4y = x\sin^2 x$

利用半角公式化简非齐次项：$x\sin^2 x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x\cos 2x$。

特征根 $r=\pm 2\text{i}$。齐次通解 $y_h = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$。

对于 $f_1(x) = \frac{1}{2}x$，特解显然为 $y_{p1} = \frac{1}{8}x$。

对于 $f_2(x) = -\frac{1}{2}x\cos 2x$，因 $\alpha=2\text{i}$ 为特征根，设特解 $y_{p2} = x[(Ax+B)\cos 2x + (Cx+D)\sin 2x]$。

代入方程整理比较系数（或使用算子法）可得 $y_{p2} = -\frac{1}{32}x\cos 2x - \frac{1}{16}x^2\sin 2x$。

通解为 $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \frac{1}{8}x - \frac{1}{32}x\cos 2x - \frac{1}{16}x^2\sin 2x$。

(8) $y'' + 3y' + 2y = 3\sin x$

特征根 $r_1=-1, r_2=-2$。齐次通解 $y_h = C_1\text{e}^{-x} + C_2\text{e}^{-2x}$。

设特解为 $y_p = A\cos x + B\sin x$。代入得：

$(-A\cos x - B\sin x) + 3(-A\sin x + B\cos x) + 2(A\cos x + B\sin x) = 3\sin x$。

合并整理得：$(A+3B)\cos x + (-3A+B)\sin x = 3\sin x$。

解方程组 $A+3B=0, -3A+B=3$，得到 $A=-\frac{9}{10}, B=\frac{3}{10}$。

通解为 $y = C_1\text{e}^{-x} + C_2\text{e}^{-2x} - \frac{9}{10}\cos x + \frac{3}{10}\sin x$。

4. 设函数 $\varphi(x)$ 可导，且满足 $\varphi(x)\cos x + 2\int_0^x \varphi(t)\sin t \text{d}t = x+2$, 求 $\varphi(x)$.

等式两边对 $x$ 求导：

$\varphi'(x)\cos x - \varphi(x)\sin x + 2\varphi(x)\sin x = 1 \Rightarrow \varphi'(x)\cos x + \varphi(x)\sin x = 1$。

化为标准一阶线性微分方程：$\varphi'(x) + \tan x \cdot \varphi(x) = \sec x$。

积分因子为 $\sec x$。方程化为 $(\varphi(x)\sec x)' = \sec^2 x$。

积分得 $\varphi(x)\sec x = \tan x + C \Rightarrow \varphi(x) = \sin x + C\cos x$。

原方程中令 $x=0$，得 $\varphi(0) = 2$。代入通解中，得 $C = 2$。

故 $\varphi(x) = \sin x + 2\cos x$。

5. 设 $f(x) = \sin x - \int_0^x (x-t)f(t) \text{d}t$，其中 $f$ 为连续函数，求 $f(x)$.

提出积分内的 $x$ 变量：$f(x) = \sin x - x\int_0^x f(t) \text{d}t + \int_0^x t f(t) \text{d}t$。

两边对 $x$ 连续求导两次得：

$f'(x) = \cos x - \int_0^x f(t) \text{d}t$；

$f''(x) = -\sin x - f(x) \Rightarrow f''(x) + f(x) = -\sin x$。

齐次通解 $f_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x$。

对非齐次项 $-\sin x$，设特解 $f_p(x) = x(A\cos x + B\sin x)$。代入解得 $A=\frac{1}{2}, B=0$，即 $f_p(x) = \frac{1}{2}x\cos x$。

通解为 $f(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}x\cos x$。

由原方程及一阶导数方程知 $f(0) = 0$ 且 $f'(0) = 1$。

代入通解求得 $C_1 = 0, C_2 = \frac{1}{2}$。

故 $f(x) = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}x\cos x$。

6. 设函数 $y_1, y_2$ 是二阶齐次线性微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的两个不同解，令 $W(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1 (x)y_2'(x) - y_1'(x)y_2(x)$, 证明：(1) $W(x)$ 满足方程 $W' + p(x)W = 0$; (2) $W(x) = W(x_0)\text{e}^{-\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t}$.

(1) 对 $W(x)$ 求导：$W' = y_1'y_2' + y_1y_2'' - y_1''y_2 - y_1'y_2' = y_1y_2'' - y_1''y_2$。

将 $y_1'' = -p(x)y_1' - q(x)y_1$ 和 $y_2'' = -p(x)y_2' - q(x)y_2$ 代入 $W'$ 中：

$W' = y_1[-p(x)y_2' - q(x)y_2] - y_2[-p(x)y_1' - q(x)y_1] = -p(x)(y_1y_2' - y_1'y_2) = -p(x)W(x)$。

移项即得 $W' + p(x)W = 0$。

(2) 分离变量得 $\frac{\text{d}W}{W} = -p(x)\text{d}x$。

两边从 $x_0$ 到 $x$ 积分：$\int_{W(x_0)}^{W(x)} \frac{\text{d}W}{W} = -\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t \Rightarrow \ln\left|\frac{W(x)}{W(x_0)}\right| = -\int_{x_0}^x p (t)\text{d}t$。

取指数即得 $W(x) = W(x_0)\text{e}^{-\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t}$。

7. 设方程 $y'' + 4y' + 4y = \text{e}^{ax}$, 其中 $a$ 为实数，求其通解.

齐次方程特征根 $r_1=r_2=-2$。齐次通解为 $y_h = (C_1 + C_2 x)\text{e}^{-2x}$。

当 $a \neq -2$ 时，$\alpha=a$ 不是特征根，设特解 $y_p = A\text{e}^{ax}$，代入得 $A = \frac{1}{(a+2)^2}$。

通解为 $y = (C_1 + C_2 x)\text{e}^{-2x} + \frac{1}{(a+2)^2}\text{e}^{ax}$。

当 $a = -2$ 时，$\alpha=-2$ 是二重特征根，设特解 $y_p = Ax^2\text{e}^{-2x}$，代入得 $A = \frac{1}{2}$。

通解为 $y = (C_1 + C_2 x)\text{e}^{-2x} + \frac{1}{2}x^2\text{e}^{-2x}$。

8. 设二阶常系数线性微分方程 $y'' + \alpha y' + \beta y = \gamma \text{e}^x$ 的一个特解为 $y = \text{e}^{2x} + (1+x)\text{e}^x$，试确定常数 $\alpha, \beta, \gamma$, 并求该方程的通解.

将特解 $y = \text{e}^{2x} + \text{e}^x + x\text{e}^x$ 及其一二阶导数代入原方程并按指数函数归类：

$[4+2\alpha+\beta]\text{e}^{2x} + [1+\alpha+\beta]x\text{e}^x + [3+2\alpha+\beta]\text{e}^x = \gamma \text{e}^x$。

比较系数得方程组：$4+2\alpha+\beta=0$，$1+\alpha+\beta=0$，$3+2\alpha+\beta=\gamma$。

解得 $\alpha = -3, \beta = 2, \gamma = -1$。

原方程为 $y'' - 3y' + 2y = -\text{e}^x$，其特征根为 $1, 2$。

题目给定的特解中，包含了对应齐次方程的解成分 $\text{e}^{2x}$ 与 $\text{e}^x$，剥离掉它们，方程非齐次项特解即为 $x\text{e}^x$。

通解为 $y = C_1\text{e}^x + C_2\text{e}^{2x} + x\text{e}^x$。

9. 设函数 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续，若由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1, x=t \ (t>1)$ 及 $x$ 轴围成的平面图形 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 $V(t) = \frac{\pi} {3}[t^2 f(t) - f(1)]$，试求 $y=f(x)$ 所满足的微分方程，并求该微分方程满足初值条件 $y|_{x=2} = \frac{2}{9}$ 的解.

由旋转体体积公式：$\pi \int_1^t y^2 \text{d}x = \frac{\pi}{3}[t^2 y - f(1)]$。

等式两边对 $t$ 求导并将变量换回 $x$，得到微分方程：$\pi y^2 = \frac{\pi}{3}(2xy + x^2 y') \Rightarrow x^2 y' + 2xy - 3y^2 = 0$。

此伯努利方程可化为 $y^{-2}y' + \frac{2}{x}y^{-1} = \frac{3}{x^2}$。令 $z = y^{-1}$，则 $z' - \frac{2}{x}z = -\frac{3}{x^2}$。

积分因子为 $x^{-2}$，即 $(zx^{-2})' = -3x^{-4}$，积分得 $z = \frac{1}{x} + Cx^2 = \frac{1+Cx^3}{x}$。

所以通解为 $y = \frac{x}{1+Cx^3}$。

代入初始条件 $y(2) = \frac{2}{9}$，得 $\frac{2}{9} = \frac{2}{1+8C} \Rightarrow C=1$。

该特解为 $y = \frac{x}{1+x^3}$。

10. 设方程 $y'' + P(x)y' = f(x)$ 有一特解为 $\frac{1}{x}$, 且其对应的齐次方程有一特解为 $x^2$, 求: (1) $P(x), f(x)$ 的表达式; (2) 此方程的通解.

(1) 将齐次解 $y=x^2$ 代入 $y'' + P(x)y' = 0$ 中：$2 + 2x P(x) = 0 \Rightarrow P(x) = -\frac{1}{x}$。

将非齐次特解 $y = \frac{1}{x}$ 代入 $y'' - \frac{1}{x}y' = f(x)$ 中：$\frac{2}{x^3} - \frac{1}{x}(-\frac{1}{x^2}) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{3}{x^3}$。

(2) 齐次方程为 $y'' - \frac{1}{x}y' = 0$，令 $p = y'$ 则 $p' - \frac{1}{x}p = 0$，解得 $y' = C_1 x$。

积分得齐次通解 $y_h = C_1 x^2 + C_2$。

非齐次方程的通解为 $y = C_1 x^2 + C_2 + \frac{1}{x}$。

11. (2008216) 设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = \int_0^{t^2} \ln(1+u)\text{d}u \end{cases}$ 确定, 其中 $x(t)$ 是初值问题 $\begin{cases} \frac{\text{d}x}{\text{d}t} - 2t\text{e}^{-x} = 0 \\ x(0) = 0 \end{cases}$ 的解, 求 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$.

解初值问题求 $x(t)$：$\text{e}^x\text{d}x = 2t\text{d}t$，积分得 $\text{e}^x = t^2 + C$。由 $x(0)=0$ 得 $C=1$，故 $\text{e}^x = t^2+1$。

参数方程求导：

$\frac{\text{d}x}{\text{d}t} = \frac{2t}{t^2+1}$；$\frac{\text{d}y}{\text{d}t} = 2t\ln(1+t^2)$。

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}y/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t} = (t^2+1)\ln(1+t^2)$。

由 $\text{e}^x = t^2+1 \Rightarrow x = \ln(t^2+1)$，上式可写作 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = x\text{e}^x$。

再对 $x$ 求导：$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = (x+1)\text{e}^x$。

12. 设曲线 $L$ 位于 $xOy$ 平面的第一象限内, $L$ 上任一点 $M$ 处的切线与 $y$ 轴总相交, 交点记为 $A$, 已知 $|\overline{MA}| = |\overline{OA}|$, 且 $L$ 过点 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, 求曲线 $L$ 的方程.

设点 $M$ 坐标为 $(x,y)$。切线方程为 $Y - y = y'(X - x)$。

令 $X=0$，得交点 $A$ 的纵坐标 $Y = y - xy'$，即 $|\overline{OA}| = |y - xy'|$。

点 $M$ 到点 $A$ 距离 $|\overline{MA}| = \sqrt{x^2 + (y - (y-xy'))^2} = x\sqrt{1+(y')^2}$ （第一象限 $x>0$）。

由条件 $x\sqrt{1+(y')^2} = |y - xy'|$，两边平方化简得齐次方程：$2xyy' - y^2 = -x^2$。

令 $u = y^2$，得一阶线性方程 $u' - \frac{1}{x}u = -x$。解得 $u = Cx - x^2$，即 $y^2 = Cx - x^2$。

由曲线过点 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 得 $\frac{9}{4} = \frac{3}{2}C - \frac{9}{4} \Rightarrow C=3$。

曲线 $L$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 3x = 0$。

13. 在过原点和点 $(2,3)$ 的单调光滑曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与 $x$ 轴及曲线所围成的平面图形的面积是另一条平行线与 $y$ 轴及曲线所围成的平面图形的面积的 2 倍，求此曲线方程.

设曲线为 $y=y(x)$，点 $(x,y)$。$x$ 平行线所围成面积 $S_1 = \int_0^x y\text{d}x$；$y$ 平行线所围成面积 $S_2 = xy - \int_0^x y\text{d}x$。

情况一：$S_1 = 2S_2$，即 $\int_0^x y\text{d}x = 2(xy - \int_0^x y\text{d}x) \Rightarrow 3\int_0^x y\text{d}x = 2xy$。

求导解得 $y = C_1\sqrt{x}$。代入 $(2,3)$ 得 $C_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$，曲线为 $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$。

情况二：$S_2 = 2S_1$，即 $xy - \int_0^x y\text{d}x = 2\int_0^x y\text{d}x \Rightarrow xy = 3\int_0^x y\text{d}x$。

求导解得 $y = C_2 x^2$。代入 $(2,3)$ 得 $C_2 = \frac{3}{4}$，曲线为 $y = \frac{3}{4}x^2$。

综上，曲线方程为 $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$ 或 $y = \frac{3}{4}x^2$。

14. 设一质点缓缓地沉入液体中，当其下沉时，液体对其产生的阻力与其下沉速度成正比，求此质点的运动规律.

设质点质量 $m$，下沉有效重力为恒力 $W$，阻力为 $kv$（$k>0$），下沉距离为 $y(t)$。

由牛顿第二定律得运动微分方程：$m\frac{\text{d}v}{\text{d}t} = W - kv$，即 $v' + \frac{k}{m}v = \frac{W}{m}$。

解此一阶线性微分方程得速度规律 $v(t) = C\text{e}^{-\frac{k}{m}t} + \frac{W}{k}$。

因“缓缓地沉入”，初始速度 $v(0) = 0 \Rightarrow C = -\frac{W}{k}$，所以 $v(t) = \frac{W}{k}(1 - \text{e}^{-\frac{k}{m}t})$。

再积分求位移：$y(t) = \int v(t)\text{d}t = \frac{W}{k}(t + \frac{m}{k}\text{e}^{-\frac{k}{m}t}) + C'$。

由初始位移 $y(0) = 0 \Rightarrow C' = -\frac{Wm}{k^2}$。

质点运动规律为 $y(t) = \frac{W}{k}t - \frac{Wm}{k^2}(1 - \text{e}^{-\frac{k}{m}t})$。

第6章 微分方程 | YHK's life

第1节 定积分的概念与性质

一、基础题

二、提高题

三、考研真题

第2节 一阶微分方程

一、基础题

二、提高题

三、应用题

四、考研真题

第3节 可降阶的高阶微分方程

一、基础题

二、提高题

三、考研真题

第4节 高阶线性微分方程

一、基础题

二、提高题

三、考研真题

第5节 欧拉方程

基础题

总习题六

第6章微分方程 | YHK's life

第1节定积分的概念与性质

第2节一阶微分方程

第3节可降阶的高阶微分方程

第4节高阶线性微分方程

第5节欧拉方程