第7章空间解析集合与向量代数 | YHK's life

第1节向量及其运算

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

一、基础题

1. 指出在空间直角坐标系中下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限.

$A(1,-2,-3)$，$B(0,2,1)$，$C(0,-2,0)$，$D(1,4,-2)$.

点 $A(1,-2,-3)$：横坐标 $x>0$，纵坐标 $y<0$，竖坐标 $z<0$，位于第八卦限。
点 $B(0,2,1)$：横坐标 $x=0$ 且 $y>0, z>0$，位于 $yOz$ 坐标面上。
点 $C(0,-2,0)$：横坐标 $x=0$，竖坐标 $z=0$ 且 $y<0$，位于 **$y$ 轴（负半轴）**上。
点 $D(1,4,-2)$：横坐标 $x>0$，纵坐标 $y>0$，竖坐标 $z<0$，位于第五卦限。

2. 分别写出点 $A(a,b,c)$ 关于 $yOz$ 面、$x$ 轴、原点 $O$ 的对称点的坐标.

关于 $yOz$ 面对称，则 $x$ 坐标变号，$y, z$ 坐标不变，对称点坐标为 $(-a, b, c)$。
关于 $x$ 轴对称，则 $x$ 坐标不变，$y, z$ 坐标变号，对称点坐标为 $(a, -b, -c)$。
关于原点 $O$ 对称，则 $x, y, z$ 坐标全部变号，对称点坐标为 $(-a, -b, -c)$。

3. 求点 $P(1,-2,-3)$ 到各坐标轴的距离.

点 $P(x,y,z)$ 到 $x, y, z$ 轴的距离公式分别为 $d_x = \sqrt{y^2+z^2}$, $d_y = \sqrt{x^2+z^2}$, $d_z = \sqrt{x^2+y^2}$。

到 $x$ 轴的距离：$d_x = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} =$ $\sqrt{13}$
到 $y$ 轴的距离：$d_y = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} =$ $\sqrt{10}$
到 $z$ 轴的距离：$d_z = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} =$ $\sqrt{5}$

4. 设向量 $\boldsymbol{r}$ 的模是 4，它与 $u$ 轴的夹角是 $\frac{\pi}{3}$，求 $\boldsymbol{r}$ 在 $u$ 轴上的投影.

根据投影的定义：

$\text{Prj}_u \boldsymbol{r} = |\boldsymbol{r}| \cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{u}) = 4 \cos\frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} =$ $2$

5. 设 $\boldsymbol{m}=3\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+8\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{n}=2\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j}-7\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{p}=5\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$，求向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴上的投影和在 $y$ 轴上的投影向量.

先计算出向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标：

$\boldsymbol{a} = 4(3,5,8) + 3(2,-4,-7) - (5,1,-4) = (12,20,32) + (6,-12,-21) - (5,1,-4)$

$\boldsymbol{a} = (12+6-5, 20-12-1, 32-21+4) = (13, 7, 15)$

向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴上的投影即为其 $x$ 坐标值，故为 $13$。
向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $y$ 轴上的投影向量为其 $y$ 坐标与 $\boldsymbol{j}$ 的乘积，故为 $(0, 7, 0)$ 或 $7\boldsymbol{j}$。

6. 求向量 $\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}$ 在向量 $\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-3\boldsymbol{k}$ 上的投影.

利用公式 $\text{Prj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ 进行计算：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 1 + 4 \times (-3) = 8 - 3 - 12 = -7$

$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

投影为：$-\frac{\sqrt{14}}{2}$ （或写为 $-\frac{7}{\sqrt{14}}$）

7. 在 $yOz$ 面上，求与已知点 $A(3,1,2)$、$B(4,-2,-2)$、$C(0,5,1)$ 等距离的点的坐标.

设所求点为 $P$，因为它在 $yOz$ 面上，故可设 $P(0, y, z)$。由 $|PA| = |PB| = |PC|$ 可得 $|PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2$：

$|PA|^2 = (0-3)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = y^2 + z^2 - 2y - 4z + 14$

$|PB|^2 = (0-4)^2 + (y+2)^2 + (z+2)^2 = y^2 + z^2 + 4y + 4z + 24$

$|PC|^2 = (0-0)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2 = y^2 + z^2 - 10y - 2z + 26$

联立方程：

① 由 $|PA|^2 = |PB|^2$ 得：$-2y - 4z + 14 = 4y + 4z + 24 \Rightarrow 6y + 8z = -10 \Rightarrow 3y + 4z = -5$

② 由 $|PA|^2 = |PC|^2$ 得：$-2y - 4z + 14 = -10y - 2z + 26 \Rightarrow 8y - 2z = 12 \Rightarrow z = 4y - 6$

将 ② 代入 ①：$3y + 4(4y - 6) = -5 \Rightarrow 19y = 19 \Rightarrow y = 1$

将 $y = 1$ 代入 $z = 4y - 6$ 得 $z = -2$。

因此，该点坐标为 $(0, 1, -2)$。

8. 已知两点 $M_1(4,\sqrt{2},1)$ 和 $M_2(3,0,2)$，试计算向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 的模、方向余弦、方向角及与向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 平行的单位向量.

$\overrightarrow{M_1M_2} = (3-4, 0-\sqrt{2}, 2-1) = (-1, -\sqrt{2}, 1)$

模：$|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} =$ $2$
方向余弦：$\cos\alpha = \frac{-1}{2} =$ $-\frac{1}{2}$, $\cos\beta = \frac{-\sqrt{2}}{2} =$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\gamma = \frac{1}{2} =$ $\frac {1}{2}$
方向角（取 $[0,\pi]$ 范围）：$\alpha =$ $\frac{2\pi}{3}$, $\beta =$ $\frac{3\pi}{4}$, $\gamma =$ $\frac{\pi}{3}$
平行的单位向量（含同向与反向）：$\pm \frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} =$ $\pm\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

9. 已知 3 个点 $M(1,1,1)$、$A(2,2,1)$ 和 $B(2,1,2)$，求 $\angle AMB$.

首先求出由点 $M$ 出发的两向量：

$\overrightarrow{MA} = (2-1, 2-1, 1-1) = (1, 1, 0)$，模长 $|\overrightarrow{MA}| = \sqrt{1^2+1^2+0} = \sqrt{2}$

$\overrightarrow{MB} = (2-1, 1-1, 2-1) = (1, 0, 1)$，模长 $|\overrightarrow{MB}| = \sqrt{1^2+0+1^2} = \sqrt{2}$

其数量积：$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$

$\cos \angle AMB = \frac{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}| |\overrightarrow{MB}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1} {2}$

因此，$\angle AMB = \frac{\pi}{3}$。

二、提高题

10. 已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2,2)$，求：(1) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$; (2) $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角; (3)$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影.

(1) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 1 \times 1 + 1 \times (-2) + (-4) \times 2 = 1 - 2 - 8 =$ $-9$

(2) $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$

设夹角为 $\theta$，$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{-9}{3\sqrt{2} \times 3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

故夹角 $\theta =$ $\frac{3\pi}{4}$。

(3) $\text{Prj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = \frac{-9}{3} =$ $-3$。

11. 设 $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{d}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}|=2$，$|\boldsymbol{b}|=1$，向量$\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{2\pi}{3}$，求 $\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{d}$.

先求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\frac{2\pi}{3} = 2 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

展开所求式：

$\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{d} = (2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) \cdot (3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 6\boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} + 9\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{b}^2$

$= 6|\boldsymbol{a}|^2 + 7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 3|\boldsymbol{b}|^2$

代入数值：$= 6(2^2) + 7(-1) - 3(1^2) = 24 - 7 - 3 =$ $14$。

12. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,1,-1)$，求同时垂直于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的单位向量.

计算两向量的叉积：

$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end {vmatrix} = \boldsymbol{i}(1-2) - \boldsymbol{j}(-1-4) + \boldsymbol{k}(1-(-2)) = (-1, 5, 3)$

模长 $|\boldsymbol{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$

单位化（方向可正可负）：$\pm \left(-\frac{\sqrt{35}}{35}, \frac{5\sqrt{35}}{35}, \frac{3\sqrt{35}}{35}\right)$。

13. 设 $\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}$，求 $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}$.

根据向量三重积公式：$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol {c})\boldsymbol{a}$

先计算点积（其中 $\boldsymbol{c} = (1, -2, 0)$）：

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = (2, -3, 1) \cdot (1, -2, 0) = 2 + 6 + 0 = 8$

$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} = (1, -1, 3) \cdot (1, -2, 0) = 1 + 2 + 0 = 3$

代入公式计算：

$8\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{a} = 8(1, -1, 3) - 3(2, -3, 1) = (8, -8, 24) - (6, -9, 3) =$ $(2, 1, 21)$ （或写作 $2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+21\boldsymbol{k}$）。

14. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$ 共线，且满足关系 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-18$，求$\boldsymbol{a}$.

因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线，可设 $\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}$。

则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = (\lambda \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda |\boldsymbol{b}|^2$。

已知 $\boldsymbol{b} = (2, -1, 2)$，故 $|\boldsymbol{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9$。

代入关系式：$9\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -2$。

故 $\boldsymbol{a} = -2(2, -1, 2) =$ $(-4, 2, -4)$ （或写作 $-4\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$）。

15. 已知空间中的 4 点 $A(1,-2,3)$、$B(4,-4,-3)$、$C(2,4,3)$、$D(8,6,6)$，求：(1) $\triangle ABC$ 的面积; (2) 以 $A, B, C, D$ 为 4 个顶点的四面体的体积.

先求出以 $A$ 为起点的三个向量：

$\overrightarrow{AB} = (3, -2, -6)$，$\overrightarrow{AC} = (1, 6, 0)$，$\overrightarrow{AD} = (7, 8, 3)$

(1) $\triangle ABC$ 面积 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & -2 & -6 \\ 1 & 6 & 0 \end{vmatrix} = (0-(-36))\boldsymbol{i} - (0-(-6))\boldsymbol{j} + (18-(-2))\boldsymbol{k} = (36, -6, 20)$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36^2 + (-6)^2 + 20^2} = \sqrt{1296 + 36 + 400} = \sqrt{1732} = 2\sqrt{433}$

因此 $S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{433} =$ $\sqrt{433}$。

(2) 四面体体积 $V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$（混合积绝对值的六分之一）。

$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (36, -6, 20) \cdot (7, 8, 3) = 36(7) + (-6)(8) + 20(3) = 252 - 48 + 60 = 264$

因此 $V = \frac{264}{6} =$ $44$。

**16. 证明：对任何向量都有

(1) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$;

(2) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2)$.**

证明 (1)：

计算 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2$ 的值：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta + |\boldsymbol{b}|^2$（其中 $\theta$ 为向量夹角）。

因为 $\cos\theta \leqslant 1$，所以有：

$|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta + |\boldsymbol{b}|^2 \leqslant |\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| + |\boldsymbol{b}|^2 = (|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|)^2$

即 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 \leqslant (|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|)^2$。

由于模长均为非负数，两边开平方即可得到：$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。原命题得证（此即三角不等式）。

证明 (2)：

分别将等号左边的两项展开：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2$

$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2$

将上述两式相加，中间交叉项 $2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 与 $-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 相互抵消：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2) + (| \boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2) = 2|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2) $。

原命题得证（此即平行四边形法则等式）。

第2节空间平面与直线

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

11 待校验

求下列夹角.

(1) 求平面 $x-y+2z-6=0$ 和平面 $2x+y+z-5=0$ 的夹角.

两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (1, -1, 2)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (2, 1, 1)$.

设两平面夹角为 $\theta$，则其余弦值为：

$$\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} = \frac{|1\times2 + (-1)\times1 + 2\times1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}\sqrt{2^2 +1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$$

由于 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，所以夹角 $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(2) 求直线 $\begin{cases} 5x-3y+3z-9=0 \\ 3x-2y+z-1=0 \end{cases}$ 与直线 $\begin{cases} 2x+2y-z+23=0 \\ 3x+8y+z-18=0 \end{cases}$ 的夹角.

第一条直线的方向向量为：

$$\mathbf{s}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (3, 4, -1)$$

第二条直线的方向向量为：

$$\mathbf{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix} = (10, -5, 10) = 5(2, -1, 2)$$

取 $\mathbf{s}_2 = (2, -1, 2)$，设两直线夹角为 $\theta$，则：

$$\cos\theta = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1||\mathbf{s}_2|} = \frac{|3\times2 + 4\times(-1) + (-1)\times2|}{\sqrt{9+16+1}\sqrt{4+1+4}} = \frac{|6 - 4 - 2|}{\sqrt{26}\sqrt{9}} = 0$$

所以两直线相互垂直，夹角 $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(3) 求直线 $\begin{cases} x+y+3z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases}$ 与平面 $x-y+z+1=0$ 的夹角.

直线的方向向量为：

$$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (2, 4, -2)$$

取 $\mathbf{s} = (1, 2, -1)$，平面的法向量为 $\mathbf{n} = (1, -1, 1)$.

设直线与平面夹角为 $\varphi$，则：

$$\sin\varphi = \frac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}||\mathbf{n}|} = \frac{|1\times1 + 2\times(-1) + (-1)\times1|}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+1+1}} = \frac{2} {\sqrt{6}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

所以直线与平面的夹角为 $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}$.

判定下列各组中直线与平面的位置关系.

(1) $\frac{x+3}{-2} = \frac{y+7}{-7} = \frac{z}{3}$ 和 $4x-2y-2z=3$.

直线的方向向量 $\mathbf{s} = (-2, -7, 3)$，平面的法向量 $\mathbf{n} = (4, -2, -2)$.

计算数量积：$\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = -8 + 14 - 6 = 0$，说明直线平行于平面或在平面内。

取直线上一点 $(-3, -7, 0)$，代入平面方程左边：$4(-3) - 2(-7) - 2(0) = -12 + 14 = 2 \neq 3$.

点不在平面内，所以直线与平面平行.

(2) $\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{7}$ 和 $3x-2y+7z=8$.

直线的方向向量 $\mathbf{s} = (3, -2, 7)$，平面的法向量 $\mathbf{n} = (3, -2, 7)$.

由于 $\mathbf{s}$ 与 $\mathbf{n}$ 对应分量成比例（完全相同），两向量平行，故直线与平面垂直.

设有两点 $A(1,2,3)$ 和 $B(2,-1,4)$，求线段 $AB$ 的垂直平分面的方程.

线段 $AB$ 的中点坐标为 $M\left(\frac{1+2}{2}, \frac{2-1}{2}, \frac{3+4}{2}\right)$，即 $M\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$.

平面的法向量即为向量 $\overrightarrow{AB} = (1, -3, 1)$.

由点法式方程得平面方程：

$1\left(x - \frac{3}{2}\right) - 3\left(y - \frac{1}{2}\right) + 1\left(z - \frac{7}{2}\right) = 0$

化简得：$x - 3y + z - \frac{7}{2} = 0$，即 $2x - 6y + 2z - 7 = 0$.

求过点 $(1,1,1)$ 且垂直于平面 $x-y+z-7=0$ 和 $3x+2y-12z+5=0$ 的平面的方程.

设所求平面的法向量为 $\mathbf{n}$，已知两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (1, -1, 1)$，$\mathbf{n}_2 = (3, 2, -12)$.

因为所求平面垂直于这两平面，故其法向量同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$：

$$\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -12 \end{vmatrix} = (10, 15, 5)$$

取 $\mathbf{n} = (2, 3, 1)$。由点法式方程，平面方程为：

$2(x-1) + 3(y-1) + 1(z-1) = 0$

化简得：$2x + 3y + z - 6 = 0$.

一平面通过两点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(0,1,-1)$ 且垂直于平面 $x+y+z=0$，求该平面的方程.

该平面包含向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} = (-1, 0, -2)$，且垂直于平面 $x+y+z=0$ (法向量 $\mathbf{n}_0 = (1, 1, 1)$)。

故所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直于 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 和 $\mathbf{n}_0$：

$$\mathbf{n} = \overrightarrow{M_1 M_2} \times \mathbf{n}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, -1, -1)$$

平面过点 $M_2(0,1,-1)$，点法式方程为：

$2(x-0) - 1(y-1) - 1(z+1) = 0$

化简得：$2x - y - z = 0$.

求过点 $(1,-2,4)$ 且与平面 $2x-3y+z-4=0$ 垂直的直线的方程.

所求直线与平面垂直，故直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 即为平面的法向量 $\mathbf{n} = (2, -3, 1)$.

由点向式可得直线方程：

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-4}{1}$$

求与两平面 $x-4z=3$ 和 $2x-y-5z=1$ 的交线平行且过点 $(-3,2,5)$ 的直线的方程.

交线的方向向量垂直于两平面的法向量 $\mathbf{n}_1 = (1, 0, -4)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (2, -1, -5)$。

$$\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -5 \end{vmatrix} = (-4, -3, -1)$$

取直线的方向向量为 $\mathbf{s} = (4, 3, 1)$，又直线过点 $(-3,2,5)$，对称式方程为：

$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-5}{1}$$

求直线 $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{2}$ 与平面 $2x+y+z-6=0$ 的交点的坐标.

将直线改写为参数方程：$x = t+2,\ y = t+3,\ z = 2t+4$.

代入平面方程中：

$2(t+2) + (t+3) + (2t+4) - 6 = 0$

$5t + 11 - 6 = 0 \Rightarrow 5t = -5 \Rightarrow t = -1$.

将 $t=-1$ 代回参数方程：$x=1,\ y=2,\ z=2$.

故交点坐标为 $(1, 2, 2)$.

求过点 $(2,1,3)$ 且与直线 $\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1}$ 垂直相交的直线的方程.

设已知直线为 $L$，将 $L$ 写成参数形式：$x = 3t-1,\ y = 2t+1,\ z = -t$.

设交点为 $P(3t-1, 2t+1, -t)$，已知点 $A(2,1,3)$，则向量 $\overrightarrow{AP} = (3t-3, 2t, -t-3)$.

因为 $\overrightarrow{AP}$ 垂直于直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s} = (3, 2, -1)$，故它们的数量积为0：

$3(3t-3) + 2(2t) - 1(-t-3) = 0$

$9t - 9 + 4t + t + 3 = 0 \Rightarrow 14t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{7}$.

此时 $\overrightarrow{AP} = \left(-\frac{12}{7}, \frac{6}{7}, -\frac{24}{7}\right) = -\frac{6}{7}(2, -1, 4)$.

取所求直线的方向向量为 $(2, -1, 4)$，由点向式方程得：

$$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-3}{4}$$

求过 $z$ 轴且与平面 $2x+y-\sqrt{5}z=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的平面的方程.

过 $z$ 轴的平面方程可设为 $Ax+By=0$ (其中 $A, B$ 不全为零)，其法向量为 $\mathbf{n} = (A, B, 0)$.

已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (2, 1, -\sqrt{5})$. 两平面夹角为 $\frac{\pi}{3}$，故：

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_0|}{|\mathbf{n}||\mathbf{n}_0|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|2A+B|}{\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{2^2+1^2 +(-\sqrt{5})^2}} = \frac{|2A+B|}{\sqrt{10(A^2+B^2)}}$$

两边平方并整理得：

$\frac{1}{4} = \frac{4A^2 + 4AB + B^2}{10(A^2+B^2)} \Rightarrow 5A^2 + 5B^2 = 8A^2 + 8AB + 2B^2 \Rightarrow 3A^2 + 8AB - 3B^2 = 0$

因式分解为 $(3A - B)(A + 3B) = 0$.

若 $B = 3A$，取 $A=1, B=3$，平面方程为 $x+3y=0$；

若 $A = -3B$，取 $A=3, B=-1$，平面方程为 $3x-y=0$.

故所求平面的方程为 $x+3y=0$ 或 $3x-y=0$.

求直线 $L$: $\begin{cases} 3x-2y+4z+1=0 \\ x+2y-z+2=0 \end{cases}$ 的对称式方程及参数方程.

直线的方向向量：

$$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-6, 7, 8)$$

在直线上任取一点，令 $x=0$，得到方程组 $\begin{cases} -2y+4z=-1 \\ 2y-z=-2 \end{cases}$。两式相加得 $3z = -3 \Rightarrow z = -1$.

代入 $2y - (-1) = -2$ 得到 $y = -3/2$. 所以直线上有一点 $(0, -3/2, -1)$.

对称式方程：

$$\frac{x}{-6} = \frac{y+\frac{3}{2}}{7} = \frac{z+1}{8}$$

参数方程：

$$\begin{cases} x = -6t \\ y = -\frac{3}{2} + 7t \\ z = -1 + 8t \end{cases}$$

试求以下投影点或投影直线的方程.

(1) 点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2y-z+1=0$ 上的投影点.

过该点作平面的垂线，垂线的方向向量即平面法向量 $\mathbf{n} = (1, 2, -1)$.

垂线的参数方程为：$x = -1+t,\ y = 2+2t,\ z = -t$.

代入平面方程：$(-1+t) + 2(2+2t) - (-t) + 1 = 0 \Rightarrow 6t + 4 = 0 \Rightarrow t = -\frac{2}{3}$.

将 $t = -2/3$ 代回参数方程，投影点坐标为 $\left(-1-\frac{2}{3}, 2-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

(2) 点 $(2,3,1)$ 在直线 $x+7=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影点.

过已知点作垂直于直线的平面，平面法向量即直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, 2, 3)$.

平面方程为：$1(x-2) + 2(y-3) + 3(z-1) = 0 \Rightarrow x+2y+3z - 11 = 0$.

直线的参数方程为 $x = t-7, y = 2t-2, z = 3t-2$.

代入平面方程求交点：$(t-7) + 2(2t-2) + 3(3t-2) - 11 = 0 \Rightarrow 14t - 28 = 0 \Rightarrow t = 2$.

交点即为投影点：$x = -5, y = 2, z = 4$. 坐标为 $(-5, 2, 4)$.

(3) 直线 $\begin{cases} 2y+3z-5=0 \\ x-2y-z+7=0 \end{cases}$ 在平面 $x-y+3z+8=0$ 上的投影直线的方程.

已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (1, -1, 3)$，直线的方向向量 $\mathbf{s} = (0, 2, 3) \times (1, -2, -1) = (4, 3, -2)$.

投影柱面的法向量为 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = (4, 3, -2) \times (1, -1, 3) = (7, -14, -7)$，取 $(1, -2, -1)$.

原直线的方程恰包含一个法向量为 $(1, -2, -1)$ 的平面 $x-2y-z+7=0$，这说明原直线所在的面本身就是垂直于投影面的投影柱面。

所以，投影直线就是原投影平面和已知平面的交线，方程为：

$$\begin{cases} x-2y-z+7=0 \\ x-y+3z+8=0 \end{cases}$$

(4) 直线 $L$: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$ 在平面 $3x+2y-z-5=0$ 上的投影直线的方程.

直线方向向量 $\mathbf{s} = (2, -3, 2)$，平面法向量 $\mathbf{n}_0 = (3, 2, -1)$.

过直线作垂直于平面的投影平面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = (2, -3, 2) \times (3, 2, -1) = (-1, 8, 13)$.

该投影平面过直线上点 $(1, -2, 2)$，平面方程为：

$-(x-1) + 8(y+2) + 13(z-2) = 0 \Rightarrow x - 8y - 13z + 9 = 0$.

投影直线方程为：

$$\begin{cases} x-8y-13z+9=0 \\ 3x+2y-z-5=0 \end{cases}$$

求过直线 $\frac{x-1}{2}=y-2=\frac{z-3}{-1}$ 且垂直于平面 $3x-y+2z+7=0$ 的平面的方程.

直线的方向向量 $\mathbf{s} = (2, 1, -1)$，已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (3, -1, 2)$.

所求平面包含直线且垂直于已知平面，其法向量垂直于 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}_0$：

$$\mathbf{n} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (1, -7, -5)$$

所求平面过直线上一点 $(1, 2, 3)$，由点法式方程得：

$1(x-1) - 7(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow x - 7y - 5z + 28 = 0$.

求过原点且过直线 $L$: $x=3-t, y=1+2t, z=t$ 的平面的方程.

直线的方向向量为 $\mathbf{s} = (-1, 2, 1)$，直线经过点 $P(3, 1, 0)$ (当 $t=0$ 时)。

因为所求平面过原点 $O(0,0,0)$ 和点 $P$，故包含向量 $\overrightarrow{OP} = (3, 1, 0)$。

平面的法向量同时垂直于 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\mathbf{s}$：

$$\mathbf{n} = \overrightarrow{OP} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1, -3, 7)$$

因为平面过原点，所以平面方程没有常数项：

$x - 3y + 7z = 0$.

第3节空间曲面与空间曲线

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

8（4）待校验

1. 一动点与两定点 $(2,3,1)$ 和 $(4,5,6)$ 等距离，求该动点的轨迹方程.

设动点坐标为 $M(x, y, z)$，已知两定点分别为 $A(2, 3, 1)$ 和 $B(4, 5, 6)$。

根据题意，动点到两定点距离相等，即 $|MA| = |MB|$，两边平方得：

$$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2 + (z-6)^2$$

将上式展开：

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 2z + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 + z^2 - 12z + 36$$

消去等式两边相同的二次项 $x^2, y^2, z^2$，并将所有项移至方程左侧：

$$(-4x + 8x) + (-6y + 10y) + (-2z + 12z) + (14 - 77) = 0$$

整理得到该动点的轨迹方程（空间中的一个平面）：

$4x + 4y + 10z - 63 = 0$

2. 分别求母线平行于 $x$ 轴及 $y$ 轴，且通过曲线 $\begin{cases} 2x^2 + y^2 + z^2 = 16, \\ x^2 - y^2 + z^2 = 0 \end{cases}$ 的柱面方程.

要求母线平行于 $x$ 轴的柱面方程（即将曲线向 $yOz$ 面投影形成的投影柱面），只需在原曲线方程组中消去变量 $x$。

由第二个方程可得 $x^2 = y^2 - z^2$，将其代入第一个方程中：

$$2(y^2 - z^2) + y^2 + z^2 = 16$$

合并同类项，得到母线平行于 $x$ 轴的柱面方程：

$3y^2 - z^2 = 16$

要求母线平行于 $y$ 轴的柱面方程，只需消去变量 $y$。

将曲线的两个方程直接相加即可消去 $y^2$：

$$(2x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 - y^2 + z^2) = 16 + 0$$

合并同类项，得到母线平行于 $y$ 轴的柱面方程：

$3x^2 + 2z^2 = 16$

3. 写出下列曲线绕指定轴旋转所形成的旋转曲面的方程：

(1) $xOy$ 面上的双曲线 $4x^2 - 9y^2 = 36$ 绕 $y$ 轴旋转;

空间中该曲线的方程为 $\begin{cases} 4x^2 - 9y^2 = 36 \\ z = 0 \end{cases}$。曲线绕 $y$ 轴旋转时，坐标 $y$ 保持不变，而将 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：

$$4(\pm\sqrt{x^2+z^2})^2 - 9y^2 = 36 \Rightarrow 4(x^2 + z^2) - 9y^2 = 36$$

同除以 36 化为标准形式，所得旋转曲面（单叶双曲面）方程为：

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1$

(2) $xOy$ 面上的圆 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 绕 $y$ 轴旋转;

将曲线方程中的 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：

$$(\pm\sqrt{x^2+z^2} - 2)^2 + y^2 = 1$$

展开左侧平方式：

$$x^2 + z^2 \mp 4\sqrt{x^2+z^2} + 4 + y^2 = 1$$

移项并使得一侧只保留根号项：

$$x^2 + y^2 + z^2 + 3 = \pm 4\sqrt{x^2+z^2}$$

两边同时平方以消除根号，得到旋转环面方程：

$(x^2 + y^2 + z^2 + 3)^2 = 16(x^2+z^2)$

(3) $yOz$ 面上的直线 $2y - 3z + 1 = 0$ 绕 $z$ 轴旋转.

原直线方程可表示为 $\begin{cases} 2y - 3z + 1 = 0 \\ x = 0 \end{cases}$。绕 $z$ 轴旋转，将 $y$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$：

$$2(\pm\sqrt{x^2+y^2}) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow \pm 2\sqrt{x^2+y^2} = 3z - 1$$

两边平方，得到圆锥面方程：

$4(x^2+y^2) = (3z-1)^2$

4. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：

(1) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{9} = 1$;

观察方程，变量 $y$ 和 $z$ 具有完全对称的平方式（二次项系数均为 $\frac{1}{9}$），因此旋转轴为 $x$ 轴。

令 $z=0$ 取其在 $xOy$ 面上的截口，得到一条母线（椭圆）方程：

$\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$

(2) $x^2 - \frac{y^2}{4} + z^2 = 1$;

方程中 $x$ 和 $z$ 的二次项系数相同（均为 $1$），因此旋转轴为 $y$ 轴。

令 $z=0$，得到 $xOy$ 面上的一条母线（双曲线）方程：

$\begin{cases} x^2 - \frac{y^2}{4} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$

(3) $x^2 - y^2 - z^2 = 1$;

该方程可改写为 $x^2 - (y^2 + z^2) = 1$，变量 $y$ 和 $z$ 的系数相同，旋转轴为 $x$ 轴。

令 $z=0$，得到 $xOy$ 面上的一条母线（双曲线）方程：

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ z = 0 \end{cases}$

(4) $(z-a)^2 = x^2 + y^2$.

方程中 $x$ 和 $y$ 的二次项系数均为 $1$，因此旋转轴为 $z$ 轴。

令 $y=0$ 取其在 $xOz$ 面的截线，得到一条母线（两条相交直线）方程：

$\begin{cases} (z-a)^2 = x^2 \\ y = 0 \end{cases}$ （或简化写作 $\begin{cases} z = x + a \\ y = 0 \end{cases}$）

5. 指出下列方程在平面和空间中分别表示什么图形：

(1) $y = x + 1$;

在二维平面中：表示一条斜率为 $1$ 的直线。

在三维空间中：因为缺少 $z$ 变量，表示一个平行于 $z$ 轴的平面。

(2) $x^2 - y^2 = 1$;

在二维平面中：表示开口向左右的等轴双曲线。

在三维空间中：表示母线平行于 $z$ 轴的双曲柱面。

(3) $\begin{cases} y = 5x + 1, \\ y = 2x - 3; \end{cases}$

联立解得 $x = -4/3, y = -17/3$。

在二维平面中：表示两直线的交点，即一个点 $\left(-\frac{4}{3}, -\frac{17}{3}\right)$。

在三维空间中：表示两个平面的交线，是一条平行于 $z$ 轴的直线。

(4) $\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1, \\ y = 3. \end{cases}$

将 $y=3$ 代入第一个方程得 $\frac{x^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x=0$。

在二维平面中：表示椭圆与水平直线的切点，即一个点 $(0, 3)$。

在三维空间中：表示椭圆柱面与平面 $y=3$ 的交线，由于只交于一线，它是一条平行于 $z$ 轴的直线。

6. 画出下列方程所表示的曲面：(此处以文字描述曲面的几何特征代为作答)

(1) $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$;

表示一个圆柱面。在 $xOy$ 面上的准线是以 $\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$ 为圆心、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆，母线平行于 $z$ 轴。

(2) $y^2 - z = 0$;

可写为 $z = y^2$，表示一个抛物柱面。准线是位于 $yOz$ 面内开口朝向 $z$ 轴正半轴的抛物线，母线平行于 $x$ 轴。

(3) $4x^2 + y^2 - z^2 = 4$;

化为标准型 $x^2 + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{4} = 1$。它表示一个以 $z$ 轴为中心轴、在原点处最细的单叶双曲面。

(4) $\frac{z}{3} = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}$.

表示一个顶点在坐标原点、开口朝向 $z$ 轴正方向的椭圆抛物面。

7. 指出下列方程表示的曲线：

(1) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 25, \\ x = 3; \end{cases}$

将 $x=3$ 代入椭球面方程得 $9 + 2y^2 + 4z^2 = 25 \Rightarrow 2y^2 + 4z^2 = 16$。

化简为 $\frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{4} = 1$，故表示位于平面 $x=3$ 内的一个椭圆。

(2) $\begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ y = 1; \end{cases}$

将 $y=1$ 代入旋转抛物面方程得 $z = x^2 + 1$。

故表示位于平面 $y=1$ 内开口朝上的抛物线。

(3) $\begin{cases} 2y^2 - 9z^2 = 1, \\ x = 1; \end{cases}$

柱面被平行于 $yOz$ 面的平面截取，得到与柱面准线形状一致的截线。

故表示位于平面 $x=1$ 内的双曲线。

(4) $\begin{cases} z = x^2 + 4y^2, \\ z = 1. \end{cases}$

将 $z=1$ 代入第一式得 $x^2 + 4y^2 = 1$。

故表示位于平面 $z=1$ 内的一个椭圆。

8. 试求以下投影曲线或投影.

(1) 两球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 和 $x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1$ 的交线在 $xOy$ 面上的投影曲线.

将两个方程相减以消去所有平方项，得到交线所在的平面方程：

$$[x^2 + y^2 + z^2] - [x^2 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 2z + 1)] = 0$$$$2y + 2z - 2 = 0 \Rightarrow z = 1 - y$$

将 $z = 1 - y$ 代入第一个球面方程以消去 $z$：

$$x^2 + y^2 + (1-y)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 2y^2 - 2y + 1 = 1$$

整理并配方得投影柱面方程：$x^2 + 2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$。

投影曲线方程需同时限制在投影面上，结果为：

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

(2) 上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 与圆柱 $x^2 + y^2 \leqslant ax$ ($a>0$) 的公共部分在 $xOy$ 面和 $zOx$ 面上的投影.

此立体位于圆柱的内部，且其最大延伸范围受限于圆柱体底面，而 $x^2 + y^2 \leqslant ax$（即 $(x-\frac{a}{2})^2 + y^2 \leqslant \frac{a^2}{4}$）完全包含在 $x^2+y^2 \leqslant a^2$ 中。

在 $xOy$ 面上的投影区域为圆柱面的底面：

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant ax \\ z = 0 \end{cases}$

为了求在 $zOx$ 面上的投影，观察侧向轮廓线。对于每一个 $x \in [0, a]$，$y$ 的最大跨度由柱面决定：$y^2 \leqslant ax - x^2$。

当在某一个 $x$ 处考察 $z$ 的上界时，代入球方程得 $z^2 = a^2 - x^2 - y^2$。为了取到立体投影的轮廓边界，$y^2$ 必须取柱面所允许的最大值 $ax - x^2$：

$$z^2 \leqslant a^2 - x^2 - (ax - x^2) = a^2 - ax$$

所以在 $zOx$ 面上的投影区域为：

$\begin{cases} 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^2 - ax} \\ 0 \leqslant x \leqslant a \\ y = 0 \end{cases}$

(3) 旋转抛物面 $z = x^2 + y^2 \ (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 在 3 个坐标面上的投影.

在 $xOy$ 面上：截取该抛物面最宽处即为最高点 $z=1$ 处的截面，向 $xOy$ 面投影是一个实心圆盘：

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 1 \\ z = 0 \end{cases}$

在 $xOz$ 面上：使 $y=0$ 以获取横向投影的最大轮廓边界，此时边界曲线为抛物线 $z = x^2$。因 $0 \leqslant z \leqslant 1$，投影区域为包络在抛物线内的块：

$\begin{cases} z \geqslant x^2 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ y = 0 \end{cases}$

在 $yOz$ 面上：同理，令 $x=0$，投影区域为：

$\begin{cases} z \geqslant y^2 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ x = 0 \end{cases}$

(4) 锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与柱面 $z^2 = 2x$ 所围立体在 3 个坐标面上的投影.

先求两曲面的交线投影：将 $z^2$ 代换，得 $x^2+y^2 = 2x \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1$。立体的底面投影界限正是这个圆。

在 $xOy$ 面上的投影区域即为此圆区域：

$\begin{cases} (x-1)^2 + y^2 \leqslant 1 \\ z = 0 \end{cases}$

在 $xOz$ 面上的投影：消去 $y$ 获取轮廓界限。立体的下界为锥面 $z \geqslant \sqrt{x^2+y^2} \geqslant x$ (当 $y=0$ 时取得下沿)，上界为抛物柱面 $z \leqslant \sqrt{2x}$。圆的定义域限定了 $x \in [0, 2]$。

所以投影区域为：

$\begin{cases} x \leqslant z \leqslant \sqrt{2x} \\ 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ y = 0 \end{cases}$

在 $yOz$ 面上的投影：消去 $x$ 获取轮廓界限。由抛物柱面上界得 $x = \frac{z^2}{2}$。由于 $z$ 在立体内处于锥面上方，将其代入锥面平方式 $z^2 = x^2 + y^2$：

$$z^2 = \left(\frac{z^2}{2}\right)^2 + y^2 \Rightarrow y^2 = z^2 - \frac{z^4}{4}$$

结合 $x \in [0,2]$ 知 $z$ 的最大高度为 $2$。

所以投影区域为：

$\begin{cases} |y| \leqslant \frac{z}{2}\sqrt{4 - z^2} \\ 0 \leqslant z \leqslant 2 \\ x = 0 \end{cases}$

总习题七

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 选择题

(1) 设平面 $3x-3y-1=0$，则平面____.

A. 平行于 $xOy$ 面

B. 平行于 $z$ 轴，但不通过 $z$ 轴

C. 垂直于 $z$ 轴

D. 通过 $z$ 轴

平面的法向量为 $\mathbf{n} = (3, -3, 0)$，它与 $z$ 轴的方向向量 $\mathbf{k} = (0, 0, 1)$ 垂直（因为 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = 0$），这说明该平面平行于 $z$ 轴。又因为将原点 $(0,0,0)$ 代入方程得 $-1 \neq 0$，说明平面不经过原点，自然也不通过 $z$ 轴。

答案：B

(2) 已知 $|\mathbf{a}|=1$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{2}$，且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$____.

A. 1

B. $1+\sqrt{2}$

C. 2

D. $\sqrt{5}$

利用向量模长的平方公式展开：

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\frac{\pi}{4} + |\mathbf {b}|^2$

代入数值：$= 1^2 + 2(1)(\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2 = 5$

所以 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}| = \sqrt{5}$。

答案：D

(3) 两直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ 和 $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ 之间的距离为____.

A. $\sqrt{14}$

B. $\frac{\sqrt{14}}{2}$

C. 0

D. $\frac{\sqrt{14}}{3}$

两直线的方向向量均为 $(1, 2, 3)$，说明两直线平行或重合。观察发现，点 $(1,2,3)$ 是第一条直线上的一点，将它代入第二条直线方程：$\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3}$ 成立，说明该点也在第二条直线上。两平行线有公共点，故两直线重合，距离为 0。

答案：C

(4) 设直线 $\frac{x}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{1-z}{-1}$ 与 $\frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{\lambda} = \frac{z+1}{-2}$ 相互垂直，则 $\lambda=$____.

A. 2

B. 3

C. 5

D. -4

第一条直线化为标准型为 $\frac{x}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1}$，其方向向量 $\mathbf{s}_1 = (2, -2, 1)$。第二条直线方向向量 $\mathbf{s}_2 = (4, \lambda, -2)$。

两直线垂直，则方向向量点积为 0：$\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2 = 2(4) + (-2)(\lambda) + 1(-2) = 0$。

解得 $8 - 2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$。

答案：B

(5) 设直线 $L_1: x-1 = \frac{y-5}{-2} = z+8$ 与 $L_2: \begin{cases} x-y=6 \\ 2y+z=3 \end{cases}$，则 $L_1$ 与 $L_2$ 的夹角为____.

A. $\frac{\pi}{6}$

B. $\frac{\pi}{4}$

C. $\frac{\pi}{3}$

D. $\frac{\pi}{2}$

$L_1$ 的方向向量为 $\mathbf{s}_1 = (1, -2, 1)$。

求 $L_2$ 的方向向量：令 $y=t$，则 $x=t+6, z=-2t+3$，其方向向量为 $\mathbf{s}_2 = (1, 1, -2)$。

夹角 $\theta$ 的余弦：$\cos\theta = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1||\mathbf{s}_2|} = \frac{|1\times 1 + (-2)\times 1 + 1\times (-2)|}{\sqrt{1 +4+1}\sqrt{1+1+4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

因为 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，所以 $\theta = \frac{\pi}{3}$。

答案：C

(6) 设有直线 $L: \begin{cases} x+3y+2z+1=0 \\ 2x-y-10z+3=0 \end{cases}$ 及平面 $\Pi: 4x-2y+z-2=0$，则直线 $L$____.

A. 平行于 $\Pi$

B. 在 $\Pi$ 上

C. 垂直于 $\Pi$

D. 与 $\Pi$ 斜交

直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -10 \end{vmatrix} = (-30 - (-2), 4 - (-10), -1 - 6) = (-28, 14, -7)$。

提取公因子 $-7$，得 $\mathbf{s} \sim (4, -2, 1)$。

平面 $\Pi$ 的法向量 $\mathbf{n} = (4, -2, 1)$。

因为 $\mathbf{s}$ 与 $\mathbf{n}$ 成比例（完全相同），所以方向向量平行于法向量，即直线垂直于平面。

答案：C

(7) 曲线 $\begin{cases} x^2+4y^2-z^2=16 \\ 4x^2+y^2+z^2=4 \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上投影的曲线方程是____.

消去 $z^2$，将两方程相加得：$(x^2+4y^2-z^2) + (4x^2+y^2+z^2) = 16 + 4$。

即 $5x^2 + 5y^2 = 20 \Rightarrow x^2+y^2=4$。

投影至 $xOy$ 面，需附加条件 $z=0$，投影曲线方程为 $\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ z=0 \end{cases}$。

答案：C

(8) 方程 $x^2 + \frac{y^2}{4} = z$ 表示____.

A. 旋转抛物面

B. 锥面

C. 旋转单叶双曲面

D. 椭圆抛物面

等式左侧为二次项，右侧为一次项，符合抛物面特征；用 $z=k \ (k>0)$ 平面截之截口为椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=k$，因此是椭圆抛物面。由于两二次项系数不等，不具有完全旋转对称性，不是旋转抛物面。

答案：D

2. 填空题

(1) 设实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 不全为 $0$，使得 $\lambda_1\mathbf{a} + \lambda_2\mathbf{b} + \lambda_3\mathbf{c} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 这3个向量是____的.

根据向量线性相关的定义，如果存在不全为0的系数使线性组合为零向量，则它们线性相关。在几何上，三个向量线性相关意味着它们共面。

答案：共面（或线性相关）

(2) 设 $\mathbf{a}=(2,1,2)$, $\mathbf{b}=(4,-1,10)$, $\mathbf{c}=\mathbf{b}-\lambda\mathbf{a}$，且 $\mathbf{a} \perp \mathbf{c}$，则 $\lambda=$____.

因为 $\mathbf{a} \perp \mathbf{c}$，所以 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0$。

代入 $\mathbf{c} = \mathbf{b} - \lambda\mathbf{a}$，得 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \lambda\mathbf{a}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \lambda|\mathbf{a}|^2 = 0$。

计算数量积与模长：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2(4) + 1(-1) + 2(10) = 8 - 1 + 20 = 27$。

$|\mathbf{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$。

因此 $27 - 9\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 3$。

答案：3

(3) 设 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$, $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=2, |\mathbf{c}|=5$，则 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=$____.

对 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 两边平方：

$|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot\mathbf{a}) = 0$

代入模长值：$3^2 + 2^2 + 5^2 + 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) = 0$

$9 + 4 + 25 + 2X = 0 \Rightarrow 38 + 2X = 0 \Rightarrow X = -19$。

答案：-19

(4) 设 $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4, |\mathbf{c}|=5$，且满足 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$，则 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{b} \times\mathbf{c} + \mathbf{c}\times\mathbf{a}|=$____.

由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 得 $\mathbf{c} = -\mathbf{a}-\mathbf{b}$。

代入原式进行叉积运算化简：

$\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{b}\times(-\mathbf{a}-\mathbf{b}) = -\mathbf{b}\times\mathbf{a} - \mathbf{b}\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$

$\mathbf{c}\times\mathbf{a} = (-\mathbf{a}-\mathbf{b})\times\mathbf{a} = -\mathbf{a}\times\mathbf{a} - \mathbf{b}\times\mathbf{a} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$

原式即求 $|3(\mathbf{a}\times\mathbf{b})| = 3|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。

又因为 $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4, |\mathbf{c}|=5$ 满足勾股定理 $3^2+4^2=5^2$，即三角形中 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 互相垂直，夹角为 $\frac{\pi}{2}$。

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\frac{\pi}{2} = 3 \times 4 \times 1 = 12$。

所以 $3|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = 3 \times 12 = 36$。

答案：36

(5) 已知 $\mathbf{a} = \mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = -\mathbf{i} - \frac{\mathbf{j}}{2} + \frac{\mathbf{k}}{2}$，则 $\cos(\mathbf{a}, 2\mathbf {b})=$____.

$2\mathbf{b} = -2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} = (-2, -1, 1)$。

$\mathbf{a} = (1, 2, 1)$。

点积 $\mathbf{a}\cdot(2\mathbf{b}) = 1(-2) + 2(-1) + 1(1) = -2 - 2 + 1 = -3$。

模长 $|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}$；$|2\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}$。

$\cos(\mathbf{a}, 2\mathbf{b}) = \frac{\mathbf{a}\cdot(2\mathbf{b})}{|\mathbf{a}||2\mathbf{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$。

答案：$-\frac{1}{2}$

(6) 曲线 $\begin{cases} x^2+3z^2=9 \\ y=0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的旋转面的方程为____.

绕 $z$ 轴旋转，将 $x$ 坐标替换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$。

代入方程得 $(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2 + 3z^2 = 9$。

化简为 $x^2 + y^2 + 3z^2 = 9$。

答案：$x^2 + y^2 + 3z^2 = 9$

(7) 母线平行于 $y$ 轴，准线为 $\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{3} = 1 \\ y=2 \end{cases}$ 的柱面的方程为____.

要求母线平行于 $y$ 轴的投影柱面，只需从原方程组中消去 $y$ 变量。

将 $y=2$ 代入第一个方程：$\frac{x^2}{4} + \frac{4}{8} + \frac{z^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{z^2}{3} = 1$。

移项整理得 $\frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{3} = \frac{1}{2}$，两边同乘2得：

答案：$\frac{x^2}{2} + \frac{2z^2}{3} = 1$

(8) 曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=25 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上的投影柱面的方程为____.

在空间中，曲线完全位于柱面 $x^2+y^2=4$ 上，因此包含该曲线且母线平行于 $z$ 轴的投影柱面就是它所在的那个柱面。

答案：$x^2+y^2=4$

(9) $xOy$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为____.

空间中直线方程为 $x=1-y, z=0$。绕 $y$ 轴旋转，将 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$。

得 $\pm\sqrt{x^2+z^2} = 1-y$。两边平方：$x^2+z^2 = (1-y)^2$。

展开并整理为：

答案：$x^2 - (y-1)^2 + z^2 = 0$

(10) 顶点在原点，母线与 $z$ 轴的夹角为 $\frac{\pi}{6}$ 的锥面方程为____.

锥面上任意一点 $P(x,y,z)$ 到原点的向量与 $z$ 轴单位向量 $\mathbf{k}=(0,0,1)$ 的夹角余弦为 $\pm\cos\frac{\pi}{6} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。

即 $\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。两边平方得 $\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{3}{4}$。

化简：$4z^2 = 3(x^2+y^2+z^2) \Rightarrow z^2 = 3(x^2+y^2)$。

答案：$z^2 = 3(x^2+y^2)$ 或 $x^2+y^2 = \frac{1}{3}z^2$

3. 设 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=2$，求 $[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})]\cdot(\mathbf{c}+\mathbf{a})$.

已知混合积 $[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 2$。利用向量叉积和点积的分配律展开所求式：

首先展开叉积部分：

$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} + \mathbf{b}\times\mathbf{b} + \mathbf{b} \times\mathbf{c}$

因为 $\mathbf{b}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}$，剩下三项。将这三项与 $(\mathbf{c}+\mathbf{a})$ 进行点积：

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} + \mathbf{b}\times\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{c}+\mathbf{a})$

$= (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{a} \times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a} + (\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{a} + (\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{a}$

混合积中有两个相同向量时其值为0，所以只有前后两项非零：

$= [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a}]$

根据混合积的轮换对称性，$[\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a}] = [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]$。

因此原式 $= 2 + 2 = 4$。

4. 求向量 $\mathbf{a}=(6,-1,2)$ 在向量 $\mathbf{b}=(7,-4,4)$ 上的投影和投影向量.

点积 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 6(7) + (-1)(-4) + 2(4) = 42 + 4 + 8 = 54$。

模长 $|\mathbf{b}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$。

在 $\mathbf{b}$ 上的投影为：$\text{Prj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = \frac{54}{9} = 6$。

在 $\mathbf{b}$ 上的投影向量为：$\text{Prj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} \cdot \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = 6 \cdot \frac{(7,-4,4)}{9} = \frac{2}{3}(7,-4,4) = \left (\frac{14}{3}, -\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$。

5. 设向量 $\mathbf{a}=(2,-3,1)$, $\mathbf{b}=(1,-2,3)$, $\mathbf{c}=(2,1,2)$，向量 $\mathbf{r}$ 满足 $\mathbf{r}\perp\mathbf{a}, \mathbf{r}\perp\mathbf{b}$, $\text {Prj}_{\mathbf{c}}\mathbf{r}=14$，求 $\mathbf{r}$.

因为 $\mathbf{r}$ 同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，故 $\mathbf{r}$ 平行于 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (-9 - (-2))\mathbf{i} - (6 - 1) \mathbf{j} + (-4 - (-3))\mathbf{k} = (-7, -5, -1)$。

设 $\mathbf{r} = k(7, 5, 1)$。已知 $\text{Prj}_{\mathbf{c}}\mathbf{r} = \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{c}}{|\mathbf{c}|} = 14$。

$|\mathbf{c}| = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = 3$。

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{c} = k(7 \times 2 + 5 \times 1 + 1 \times 2) = 21k$。

代入投影公式：$\frac{21k}{3} = 7k = 14 \Rightarrow k = 2$。

所以 $\mathbf{r} = 2(7, 5, 1) = (14, 10, 2)$。

6. 已知直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{-1}$ 和 $L_2: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$，求过 $L_1$ 且平行于 $L_2$ 的平面方程.

两直线的方向向量分别为 $\mathbf{s}_1 = (1, 0, -1)$ 和 $\mathbf{s}_2 = (3, 1, 2)$。

所求平面同时平行于这两个方向，其法向量 $\mathbf{n} = \mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2$。

$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 - (-1), - (2 - (-3)), 1 - 0) = (1, -5, 1)$。

该平面过 $L_1$，因此取 $L_1$ 上一点 $(1, -1, 2)$，点法式平面方程为：

$1(x-1) - 5(y+1) + 1(z-2) = 0$

化简得 $x - 5y + z - 8 = 0$。

7. 一条直线过点 $(2,-3,4)$，且垂直于直线 $x-2 = 1-y = \frac{z+5}{2}$ 和 $\frac{x-4}{3} = \frac{y+2}{-2} = z-1$，求该直线的方程.

已知两直线化为标准型，方向向量分别为 $\mathbf{s}_1 = (1, -1, 2)$，$\mathbf{s}_2 = (3, -2, 1)$。

所求直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于这两条直线，故 $\mathbf{s} = \mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2$。

$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - (-4), - (1 - 6), -2 - (-3)) = (3, 5, 1)$。

点向式直线方程为：$\frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-4}{1}$。

8. 求直线 $L: \begin{cases} x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0 \end{cases}$ 在平面 $x+3y+2z=0$ 上的投影直线的方程.

求 $L$ 的方向向量：$\mathbf{s} = (1, 1, -1) \times (1, -1, 1) = (0, -2, -2)$，取 $\mathbf{s} = (0, 1, 1)$。

$L$ 上取一点（令 $x=0$）：由 $y-z=1, -y+z=-1$ 产生冗余说明包含原点？不，令 $y=0$ 得到 $x-z=1, x+z=-1 \Rightarrow x=0, z=-1$，点为 $M(0, 0, -1)$。

投影平面既过直线 $L$ 也垂直于投影面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n} = (0, 1, 1) \times (1, 3, 2) = (-1, 1, -1)$，取 $\mathbf{N} = (1, -1, 1)$。

投影平面方程为 $1(x-0) - 1(y-0) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow x-y+z+1=0$。（此平面其实是定义原直线的第二个方程）。

投影直线方程为交线式：$\begin{cases} x-y+z+1=0 \\ x+3y+2z=0 \end{cases}$。

9. 求直线 $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$ 在平面 $x-y+2z-1=0$ 上的投影直线的方程.

直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, 1, -1)$，投影平面法向量 $\mathbf{n} = (1, -1, 2)$。

作垂直投影面并过直线 $L$ 的辅助平面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n} = (1, 1, -1) \times (1, -1, 2) = (1, -3, -2)$。

该平面过直线上的点 $(1, 0, 1)$，方程为：$1(x-1) - 3(y-0) - 2(z-1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z + 1 = 0$。

投影直线即该平面与原平面的交线：$\begin{cases} x-3y-2z+1=0 \\ x-y+2z-1=0 \end{cases}$。

10. 试证：点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$ 到直线 $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$ 的距离为 $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|}{| \mathbf{s}|}$，其中 $\mathbf{s}=(l,m,n), M_0(x_0,y_0,z_0)$.

利用平行四边形几何性质：向量 $\overrightarrow{M_0M_1}$ 和直线方向向量 $\mathbf{s}$ 构成的平行四边形面积为 $S = |\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|$。

该平行四边形以向量 $\mathbf{s}$ 为底边，其长度为 $|\mathbf{s}|$。

平行四边形对应于该底的高 $h$，在几何上正是点 $M_1$ 到经过 $M_0$ 且方向为 $\mathbf{s}$ 的直线的垂直距离 $d$。

由面积公式 $S = \text{底} \times \text{高}$，得到 $|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}| = |\mathbf{s}| \times d$。

移项即得 $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$，命题得证。

11. 求点 $P(1,2,-1)$ 到直线 $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{3}$ 的距离.

由题意，$M_0(1, -1, 2)$，$\mathbf{s} = (2, -1, 3)$。向量 $\overrightarrow{M_0P} = (1-1, 2-(-1), -1-2) = (0, 3, -3)$。

$\overrightarrow{M_0P} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (9 - 3)\mathbf{i} - (0+ (-6))\mathbf{j} + (0 - 6)\mathbf{k} = (6, -6, -6)$。

$|\overrightarrow{M_0P} \times \mathbf{s}| = \sqrt{36 + 36 + 36} = 6\sqrt{3}$。$|\mathbf{s}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$。

距离 $d = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{42}}{7}$。

12. 求点 $A(4,1,-2)$ 到直线 $\begin{cases} x-y+z+5=0 \\ 2x+z-4=0 \end{cases}$ 的距离.

直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, -1, 1) \times (2, 0, 1) = (-1, 1, 2)$。

在直线上找一点 $M_0$：令 $x=0$，得 $z=4$，代入上式得 $-y+9=0 \Rightarrow y=9$。即 $M_0(0, 9, 4)$。

向量 $\overrightarrow{M_0A} = (4, -8, -6)$。

$\overrightarrow{M_0A} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -8 & -6 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-16 - (-6), - (8 - 6), 4 - 8) = (-10, -2, -4)$。

$|\overrightarrow{M_0A} \times \mathbf{s}| = \sqrt{100 + 4 + 16} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$。$|\mathbf{s}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$。

距离 $d = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{5}$。

13. 求直线 $L_1: \frac{x+5}{6} = 1-y = z+3$ 与直线 $L_2: \begin{cases} x+5y+z=0 \\ x+y-z+4=0 \end{cases}$ 之间的距离.

$L_1$ 化标准型为 $\frac{x+5}{6} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+3}{1}$，过点 $P_1(-5, 1, -3)$，方向 $\mathbf{s}_1 = (6, -1, 1)$。

$L_2$ 的方向向量 $\mathbf{s}_2 = (1, 5, 1) \times (1, 1, -1) = (-6, 2, -4) \sim (3, -1, 2)$。

在 $L_2$ 上找点 $P_2$：令 $y=0$，得 $x+z=0, x-z=-4 \Rightarrow x=-2, z=2$，即 $P_2(-2, 0, 2)$。

连线向量 $\overrightarrow{P_1P_2} = (-2 - (-5), 0 - 1, 2 - (-3)) = (3, -1, 5)$。

利用混合积求公垂线段长 $d = \frac{|(\overrightarrow{P_1P_2}, \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2)|}{|\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2|}$。

混合积 $= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 3(-2+1) - (-1)(12-3) + 5(-6+3) = -3 + 9 - 15 = -9$。

$\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (-2+1, 3-12, -6+3) = (-1, -9, -3)$。

$|\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{91}$。

距离 $d = \frac{|-9|}{\sqrt{91}} = \frac{9\sqrt{91}}{91}$。

14. 求曲线 $\begin{cases} x^2+4y^2=4 \\ 2x+3y+z+1=0 \end{cases}$ 在 $yOz$ 面和 $xOy$ 面上的投影曲线.

向 $yOz$ 面投影：消去 $x$。由平面方程得 $x = -\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}$。

代入柱面方程：$\left(-\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}\right)^2 + 4y^2 = 4$。展开并乘以4得 $(3y+z+1)^2 + 16y^2 = 16$。

投影曲线方程为：$\begin{cases} 25y^2 + z^2 + 6yz + 6y + 2z - 15 = 0 \\ x=0 \end{cases}$。

向 $xOy$ 面投影：曲线本身就躺在母线平行于 $z$ 轴的柱面上，消去 $z$ 等价于只看底面形状。

投影曲线方程为：$\begin{cases} x^2+4y^2=4 \\ z=0 \end{cases}$。

15. 求曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2 \\ z = x^2+y^2 \end{cases}$ 在3个坐标面上的投影曲线.

先联立消去 $x^2+y^2$：$z + z^2 = 2 \Rightarrow z^2+z-2=0 \Rightarrow (z+2)(z-1)=0$。

因为抛物面 $z = x^2+y^2 \geqslant 0$，所以 $z=1$。即交线为平面 $z=1$ 上的圆 $x^2+y^2=1$。

在 $xOy$ 面的投影（向下压平）：$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ z=0 \end{cases}$。
在 $yOz$ 面的投影（从前面看圆变为线段）：$\begin{cases} z=1 \\ -1 \leqslant y \leqslant 1 \\ x=0 \end{cases}$。
在 $xOz$ 面的投影（从侧面看圆变为线段）：$\begin{cases} z=1 \\ -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ y=0 \end{cases}$。

16. 求过直线 $L: \begin{cases} x=1+t \\ y=1+2t \\ z=1+3t \end{cases}$ 且与点 $(2,2,2)$ 的距离为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的平面方程.

设所求平面法向量为 $\mathbf{n} = (A,B,C)$，因过直线，法向量垂直直线方向 $\mathbf{s}=(1,2,3)$，得 $A+2B+3C=0 \Rightarrow A=-2B-3C$。

平面过直线上点 $(1,1,1)$，平面方程可设为 $A(x-1) + B(y-1) + C(z-1) = 0$。

点 $(2,2,2)$ 到平面的距离公式：$\frac{|A(2-1)+B(2-1)+C(2-1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|A+B+C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

将 $A=-2B-3C$ 代入得：$\sqrt{3}|-B-2C| = \sqrt{(-2B-3C)^2+B^2+C^2}$。

两边平方整理：$3(B^2+4BC+4C^2) = 5B^2+12BC+10C^2 \Rightarrow 2B^2 - 2C^2 = 0 \Rightarrow B^2 = C^2 \Rightarrow B = \pm C$。

若 $B=C$，则 $A=-5C$，取 $\mathbf{n} = (-5,1,1)$，代回平面方程得：$5x-y-z-3=0$。

若 $B=-C$，则 $A=-C$，取 $\mathbf{n} = (-1,-1,1)$，代回平面方程得：$x+y-z-1=0$。

所求平面方程为 $5x-y-z-3=0$ 或 $x+y-z-1=0$。

17. 已知四面体的3个顶点为 $A(2,1,-1)$, $B(3,0,1)$, $C(2,-1,3)$，其体积 $V=5$，第4个顶点 $D$ 在 $y$ 轴上，试求顶点 $D$ 的坐标.

设 $D$ 的坐标为 $(0, y, 0)$。由向量 $\overrightarrow{AB} = (1, -1, 2)$, $\overrightarrow{AC} = (0, -2, 4)$, $\overrightarrow{AD} = (-2, y-1, 1)$。

体积 $V = \frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$。

计算叉积：$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (0, -4, -2)$。

混合积为 $(0, -4, -2) \cdot (-2, y-1, 1) = 0 - 4(y-1) - 2 = -4y + 2$。

由体积为 5 可知 $\frac{1}{6}|-4y+2| = 5 \Rightarrow |-4y+2| = 30$。

解得 $-4y+2 = 30 \Rightarrow y=-7$；或 $-4y+2 = -30 \Rightarrow y=8$。

所以点 $D$ 坐标为 $(0, -7, 0)$ 或 $(0, 8, 0)$。

18. 判断下列方程所表示的曲面，并画出图形. (由于纯文本限制，此处进行特征描述)

(1) $x=2$: 表示一个与 $yOz$ 面平行的平面，交 $x$ 轴于 $x=2$ 处。

(2) $y+z=1$: 表示一个母线平行于 $x$ 轴的平面，经过点 $(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。

(3) $z^2-x^2=1$: 表示一个母线平行于 $y$ 轴的双曲柱面，开口沿 $z$ 轴上下延伸。

(4) $y^2=4x$: 表示一个母线平行于 $z$ 轴的抛物柱面，开口沿 $x$ 轴正方向延伸。

19. 画出下列曲面所围立体的图形: (由于纯文本限制，此处进行文字刻画)

(1) 抛物柱面 $2y^2=x$、平面 $z=0$ 及 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$: 以 $xOy$ 面内抛物线与直线所围封闭区域为底，上方由一个倾斜平整的平面盖住的立体。

(2) 抛物柱面 $x^2=1-z$、平面 $y=0$、$z=0$ 及 $x+y=1$: 顶部像抛物线型的拱顶，底部位于 $xOy$ 面，并被直立的平面 $y=0$ 与 $x+y=1$ 纵向截断所形成的楔形块。

(3) 上半圆锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 及旋转抛物面 $z = 2-x^2-y^2$: 像一个圆筒冰淇淋。下方以漏斗状的圆锥面作为容器，上方以倒置抛物面封顶。

(4) 旋转抛物面 $x^2+y^2=z$、柱面 $y^2=x$、平面 $z=0$ 及 $x=1$: 位于第一、四卦限，在 $xOy$ 面的“地基”由抛物线段和一条竖直线构成，向上隆起至抛物面外壳的立体。

第7章 空间解析集合与向量代数 | YHK's life

第1节 向量及其运算

一、基础题

二、提高题

第2节 空间平面与直线

第3节 空间曲面与空间曲线

总习题七

第7章空间解析集合与向量代数 | YHK's life

第1节向量及其运算

第2节空间平面与直线

第3节空间曲面与空间曲线